images
images listlengths 0
39
| text
stringlengths 132
35.1k
| answer
stringlengths 143
39.8k
| tags
stringlengths 5
176
|
|---|---|---|---|
{"text": [{"text": "В космосе летает мыльный пузырь радиуса $R_1$. С помощью внешнего ионизатора мыльную пленку быстро заряжают некоторым положительным зарядом, после чего радиус пузыря через некоторое время перестаёт меняться и становится равным $R_2=2R_1$."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите электрический заряд $q$, который был сообщен мыльной пленке, если ее теплоемкость и теплопроводность ничтожно малы. Коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки не зависит от температуры и равен $\sigma$. Воздух считать идеальным двухатомным газом."}]} | [{"condition": "Найдите электрический заряд $q$, который был сообщен мыльной пленке, если ее теплоемкость и теплопроводность ничтожно малы. ", "solution": {"text": "Расталкивание зарядов на поверхности приведёт к увеличению пузыря. По инерции он проскочит положение равновесия и возникнут колебания. Из-за внутреннего трения в газе колебания затухнут, пузырь придёт в новое равновесное состояние, при этом кинетическая энергия плёнки перейдёт во внутреннюю энергию газа, поэтому газ в этом процессе не подчиняется уравнению адиабаты.Воспользуемся законом сохранения энергии для системы плёнка-газ:$$\frac{5}{2}P_1V_1+\sigma 8\pi R_1^2+\frac{kq^2}{2R_1}=\frac{5}{2}P_2V_2+\sigma 8\pi R_2^2+\frac{kq^2}{2R_2}. \tag{1}$$Начальное давление газа в пузыре с учётом поверхностного натяжения равно$$p_1=\frac{4\sigma}{r_1}. \tag{2}$$Конечное давление с учётом электростатических сил отталкивания равно (известная задача для сил, старающихся разорвать заряженную сферу)$$p_2=\frac{4\sigma}{R_2}-\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4_2}. \tag{3}$$В нашем случае $$V_1=4\pi R_1^3/3, \quad V_2=4\pi R_2^3/3. \tag{4}$$При этих условиях совместное решение уравнений $(1)-(4)$ дает ответ$$q=32\pi\sqrt{\varepsilon_0\sigma R_1^3}. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=32\pi\sqrt{\varepsilon_0\sigma R_1^3}. $$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Испытывается новый скорострельный многоствольный пулемет, дающий $n=100~выстрелов/с$. Скорость полета пули составляет $u=1000~м/с$, а ее масса равна $m =10~г$. Мишенью служит вертикально подвешенный на канате ящик с песком, масса которого равна $M=1000~кг$."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "3,00"}, "text": "Считая, что пули застревают в ящике, определите максимальный угол отклонения ящика с песком от вертикали после начала стрельбы."}]} | [{"condition": "Считая, что пули застревают в ящике, определите максимальный угол отклонения ящика с песком от вертикали после начала стрельбы. ", "solution": {"text": "Пусть за время $\Delta t$ в ящик с песком попало $\delta N$ пуль. Тогда переданный ящику импульс равен $\Delta p=\Delta Nmu$, что эквивалентно действия на него горизонтальной силы, равной$$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\Delta Num}{\Delta t}=nmu. \tag{1}$$При отклонении на угол $\alpha$ горизонтальная сила $F$ совершает работу$$A=Fl\sin\alpha. \tag{2}$$Здесь $l$ — расстояние от точки подвеса до центра масс.Угол отклонения будет максимальным тогда, когда вся эта работа перейдет в потенциальную энергию мишени, равную$$W=Mgl(1-\cos\alpha). \tag{3}$$Полагая по закону сохранения $A=W$, получаем ответ$$\alpha_{\max}=2\operatorname{arctg}\left(\frac{F}{Mg}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\frac{nmu}{Mg}\right)=0.2~рад=11.65^{\circ}. \tag{4}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha_{\max}=2\operatorname{arctg}\left(\frac{nmu}{Mg}\right)=0.2~рад=11.65^{\circ}. $$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Фотографировать тигра с расстояния менее $20~м$ опасно."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой размер может иметь камера-обскура с отверстием диаметром в $1~мм$, чтобы тигр на фотографии был полосатым? Расстояние между полосами на шкуре тигра равно $20~см$."}]} | [{"condition": "Какой размер может иметь камера-обскура с отверстием диаметром в $1~мм$, чтобы тигр на фотографии был полосатым? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Глубина камеры должна быть больше $10~см$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Всероссийские", "Камера обскура"] |
|
{"text": [{"text": "В калориметр наливают ложку горячей воды, при этом его температура увеличивается на $5$ градусов. После того как в него добавили еще одну ложку горячей воды, температура возросла еще на $3$ градуса."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь."}]} | [{"condition": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? ", "solution": {"text": "$\begin{aligned} \Delta t_1 & =5^{\circ} \mathrm{C} \\ \Delta t_2 & =8^{\circ} \mathrm{C}\end{aligned}$Пусть $m$ — масса воды в калориметре до добавления ложек горячей воды, $t_0$ — ее температура в начальной момент.Пусть $\Delta m$ — масса воды в ложке, $t_л$ — ее температура. Если в калориметр добавить $n$ ложек горячей воды и дождаться установления теплового равновесия, то установится температура $t_n$, так что:$$t_n(m+n \Delta m)=t_л \cdot \Delta m \cdot n+m \cdot t_0 \\t_n=\frac{t_л \cdot n \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m} \\\Delta t_n=t_n-t_0=\frac{n t_л \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m}-t_0=\\=\frac{n \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+n \Delta m}.$$В частности, $\Delta t_1=\frac{\Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+\Delta m}$; $\Delta t_2=\frac{2 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+2 \Delta m}$.$$\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{2(m+\Delta m)}{m+2 \Delta m}=\frac{2\left(1+\frac{\Delta m}{m}\right)}{1+\frac{2 \Delta m}{m}} .\\\kappa:=\frac{\Delta m}{m} \\\begin{aligned}& \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}(1+2 \kappa)=2+2 \kappa \\& 2\kappa\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)=2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} \\& \kappa=\frac{2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}}{2\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)}=\frac{2 \Delta t_1-\Delta t_2}{2\left(\Delta t_2-\Delta t_1\right)}=\frac{1}{3}\end{aligned}. $$$$\begin{aligned}& \Delta t_{50}=\frac{50 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+50 \Delta m} \\& \frac{\Delta t_{50}}{\Delta t_1}=\frac{50(m+\Delta m)}{m+50 \Delta m}=\frac{50(1+\kappa)}{1+50 \kappa}=\frac{200}{53} . \\& \Delta t_{50}=\Delta t_1 \cdot \frac{200}{53} \approx 18.9{ }^{\circ} \mathrm{C} .\end{aligned}$$Тогда искомая температура равна $\Delta t_{50}-\Delta t_2=10.9^{\circ} \mathrm{C} $"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta t=10.9~{}^\circ\mathrm C$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Всероссийские", "Теплота", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят квазистатический процесс, в результате которого его начальный объем $V_0=1~м^3$ увеличивается в четыре раза, а начальное давление $p_0=10^5~Па$ уменьшается в два раза. Известно, что для каждого малого участка квазистатического процесса отношение работы к изменению внутренней энергии является величиной постоянной."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе."}]} | [{"condition": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе. ", "solution": {"text": "Работа $dA$, совершаемая газом при изменении его объема на $dV$$$dA = pdV, \tag{1}$$где $p$ — его давление.Изменение внутренней энергии $dU$ одного моля идеального одноатомного газа связано с изменением его температуры $dT$ соотношением$$dU=\frac{3}{2}RdT. \tag{2}$$По условию задачи должно выполняться соотношение$$\eta=\frac{dA}{dU}=\operatorname{const}, \tag{3}$$которое, наряду с уравнением идеального газа$$pV=RT, \tag{4}$$приводит к следующему уравнению$$\frac{2}{3\eta}\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}. \tag{5}$$Уравнение $(5)$ легко интегрируется и приводится к виду$$\frac{T}{T}=\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\frac{2}{3\eta}}. \tag{6}$$В начальном состоянии уравнение идеального газа дает$$p_0V_0=RT_0, \tag{7}$$а в конечном состоянии $$\frac{p_0}{2}4V_0=RT, \tag{8}$$откуда получаем температуру газа в конечном состоянии$$T=2T_0. \tag{9}$$Из уравнений $(6)$ и $(9)$ легко находится коэффициент$$\eta=\frac{4}{3}. \tag{10}$$Полная работа газа в процессе определяется интегралом уравнения $(1)$ и равна$$A=\int\limits_{V_0}^{4V_0}pdV=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. \tag{11}$$ Примечание: Описанный в данной задаче процесс является политропным, то есть происходит при постоянной теплоемкости. Действительно, так как совершаемая газом работа составляет фиксированную часть изменения внутренней энергии, то это и означает, что теплоемкость газа остается постоянной за все время процесса. При этом уравнение политропы $pV^n=\operatorname{const}$ справедливо при выбранных условиях задачи для $n =1/ 2$, а работа газа, очевидно, не зависит от его типа, будь то одноатомный или многоатомный газ."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Где ускорение свободного падения больше: на поверхности Земли или на глубине $100~ км$? Считайте Землю сферически симметричной. Средняя плотность Земли $\rho_З = 5500~ кг/м^3$ , плотность земной коры $\rho_к = 3000~ кг/м^3$ . (Можно считать, что толщина коры по крайней мере не меньше $100 ~км$.)"}]} | [{"condition": "Где ускорение свободного падения больше: на поверхности Земли или на глубине $100~ км$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: На глубине ускорение свободного падения на $0,7\%$ больше, чем на поверхности Земли."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Гравитация", "200 задач", "Оценка"] |
|
{"text": [{"text": "Солнечным утром на освещаемом солнцем сухом асфальте видны блестящие пятна, похожие на лужи воды. Их появление является простейшим миражом — реально в этих «лужах» мы видим отражение неба. Цель данной задачи дать теоретическое описание этого явления. Показатель преломления воздуха $n$ зависит от концентрации молекул $\gamma$ в соответствии с формулой $$ n=1+\frac{\alpha \gamma}{2}. \ (1) $$ где $\alpha=2.3\cdot10^{-29}~м^{3}$ — средняя поляризуемость молекул воздуха. Будем считать, что темпе-ратура воздуха равна $t_{0}=20^{\circ}\mathrm{C}$, атмосферное давление $P_{0}=1.0\cdot 10^{5}~Па$. Благодаря солнечным лучам у поверхности асфальта образуется тонкий слой более нагретого воздуха, темпе-ратура которого на $\Delta t=2.0^{\circ}\mathrm{C}$ выше, чем температура более высоких слоев. Водитель движется прямолинейно по горизонтальной дороге, причем его глаза находятся на высоте $h=1.2~м$ над поверхностью асфальта."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. Постоянная Больцмана $k_{B}=1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$. $$ (1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x \\ \sin x \approx x \\ \cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2} $$"}]} | [{"condition": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. ", "solution": {"text": "В действительности, кажущиеся «лужи» появляются из-за отражения лучей, идущих от неба, от более нагретого слоя воздуха вблизи асфальта. На рисунке схематично показан один из таких лучей. <img_0> Условие полного отражения имеет вид$$n_{0}=n_{1}\cos \varphi, \ (1)$$где $n_{0}$, $n_{1}$ — показатели преломления воздуха у поверхности асфальта и на удалении от него, соответственно. Показатель преломления зависит от концентрации молекул, и, следовательно, от температуры воздуха. Из уравнения состояния идеального газа $$P=\gamma kT, \ (2)$$выразим значение концентрации и подставим в формулу для показателя преломления:$$n_{1}=1+\frac{\alpha P}{2kT}, \quad n_{0}=1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}. \ (3)$$найдем отношение показателей преломления (с учетом того, что они мало отличаются от единицы).$$\frac{n_{0}}{n_{1}}=\frac{1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx \frac{1+\frac{\alpha P}{2kT}\left(1-\frac{\Delta T}{T} \right)}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx 1-\frac{\alpha P\Delta T}{2kT^{2}}. \ (4)$$Так как угол $\varphi$ мал, можно воспользоваться приближенной формулой $\cos \varphi 1-\frac{\varphi ^{2}}{2}$. В этом случае из формул (1) и (4) следует, что $$\varphi =\sqrt{\frac{\alpha P \Delta T}{k T^{2}}}. \ (5)$$Теперь легко найти, что расстояние на котором видна «лужа» при заданных условиях равно$$L=\frac{h}{\varphi}=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}}=1.2\sqrt{\frac{1.38\cdot10^{-23}\cdot (293)^{2}}{2.3\cdot 10^{-29}\cdot 1.0 \cdot 10^{5}\cdot 2.0}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. \ (6)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Однородная планета радиуса $R$ не имеет атмосферы и не вращается. С поверхности планеты бросают камень под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$, равной первой космической скорости на поверхности этой планеты."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт?"}]} | [{"condition": "Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт? ", "solution": {"text": "<img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h=R\sin\alpha.$$$$l=2R(\frac{\pi}{2}-\alpha).$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Однородный цилиндр длиной $l_0$ и площадью поперечного сечения $S$ имеет в состоянии покоя плотность $\rho_0$. Найдите плотность цилиндра $\rho$ этого цилиндра, когда он движется со скоростью $v=0.9c$, где $c$ – скорость света."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Если соответствующая электрону волна де Бройля является плоской волной с длиной волны $\lambda$, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, найдите проекцию $p_x$ импульса электрона на эту ось и его координату $x$."}]} | [{"condition": "Однородный цилиндр длиной $l_0$ и площадью поперечного сечения $S$ имеет в состоянии покоя плотность $\rho_0$. Найдите плотность цилиндра $\rho$ этого цилиндра, когда он движется со скоростью $v=0.9c$, где $c$ – скорость света. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\rho=\rho_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}=5.26\rho.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Если соответствующая электрону волна де Бройля является плоской волной с длиной волны $\lambda$, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, найдите проекцию $p_x$ импульса электрона на эту ось и его координату $x$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[p_x=\frac{h}{\lambda},\]где $h$ — постоянная Планка. Т.к. $\Delta p_x=0$, то из соотношения неопределённости Гейзенберга $\Delta x \Delta p_x \geq h$ следует, что координата электрона $x$ не определена."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "СТО", "Кинематика СТО", "Китайские"] |
|
{"text": [{"text": "Очень маленький, размером с муравья, автомобиль, едет по ровной горизонтальной поверхности вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$. На его крыше закреплён точечный источник света $S$, находящийся на главной оптической оси линзы. Скорость автомобиля изменяется так, что скорость изображения $S_{1}$ точечного источника $S$ остаётся постоянной и равной $v_{0}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». Коэффициент трения между колёсами автомобиля и дорогой равен $\mu$."}]} | [{"condition": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». ", "solution": {"text": "Пусть расстояние от источника $S$ до переднего фокуса линзы paвно $x$, а расстояние от его изображения до заднего фокуса равно $y$. <img_0> Воспользуемся формулой тонкой линзы в форме Ньютона:$$x y=f^{2}.$$Ее можно легко получить из стандартной формулы тонкой линзы $1 / a+1 / b=1 / f$, выполнив замену $a=x+f$ и $b=y+f$. Для малых перемещений $\Delta x$ и $\Delta y$ получим$$x \Delta y+y \Delta x=0 \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{v}{v_{0}}=-\frac{x}{y}=-\frac{x y}{y^{2}}=-\frac{f^{2}}{y^{2}},$$отсюда скорость автомобиля: $v=-v_{0} f^{2} / y^{2}$. Знак «ー» означает, что если автомобиль удаляется от фокуса ($x$ растет, то есть $v>0$), его изображение приближается к фокусу ($y$ уменьшается, $v_{0}<0$). Ускорение автомобиля:$$a=\frac{d v}{d t}=2 \frac{v_{0} f^{2}}{y^{3}} \frac{d y}{d t}=2 \frac{v_{0}^{2} f^{2}}{y^{3}}=2 \frac{v_{0}^{2} x^{3}}{f^{4}}.$$Это ускорение не может превышать (по модулю) значения $a_{\max }=\mu g$. Следовательно, получаем неравенство:$$\frac{2 v_{0}^{2}|x|^{3}}{f^{4}} \leqslant \mu g, \quad \text { откуда } \quad|x| \leqslant f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}},$$т.е. автомобиль не может удалиться от фокуса на расстояние, большее, чем $f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}$.В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$Изображение может быть как мнимым $(l < f)$, так и действительным $(l > f)$.В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Кинематика", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Водяной пар массой $m=1~г$ находится в теплоизолированной камере объемом $V=39~л$ при температуре $T=300~K$. В той же камере имеется вода, масса которой меньше массы пара. В процессе адиабатного сжатия температура пара возрастает на $\Delta T=1~K$, а часть воды испаряется."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На сколько увеличится при этом масса пара в камере? Теплота испарения воды $\lambda=2.37 \cdot 10^{6}~Дж/кг$; пар считать идеальным газом с молярной теплоемкостью $C_{V}=3 R \approx 25~Дж/(моль \cdot К)$; теплоемкостью воды пренебречь. Известно также, что при малых изменениях температуры $\Delta T$ насыщенного пара его давление изменяется на $\Delta p=k \Delta T$, где $k=2 \cdot 10^{2}~Па/ К$."}]} | [{"condition": "На сколько увеличится при этом масса пара в камере? ", "solution": {"text": "Пусть $m$ — масса пара в камере, $\Delta m$ — увеличение массы пара, $\mu$ — его молярная масса. Считая, что приращение давления пара равно $\Delta p$, приращения его объема $\Delta V$ и температуры $\Delta T$, из уравнения состояния $p V=\frac{m}{\mu} R T$ получим $$ p \Delta V+V \Delta p=\frac{\Delta m}{\mu} R T+\frac{m}{\mu} R \Delta T. \quad (1) $$ За счет работы внешних сил при сжатии пара его температура увеличивается и происходит испарение воды: $$ -p \Delta V=\lambda \Delta m+\frac{m}{\mu} C_{V} \Delta T \quad (\Delta V<0). \quad (2) $$ По условию задачи $$ \Delta p=k \Delta T. \quad (3) $$ Из уравнений $(1)$, $(2)$, $(3)$ окончательно получаем $$ \Delta m=\frac{k \mu V-m\left(C_{V}+R\right)}{\lambda \mu+R T} \Delta T \approx 3.0 \cdot 10^{-3}~г. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta m=\frac{k \mu V-m\left(C_{V}+R\right)}{\lambda \mu+R T} \Delta T \approx 3.0 \cdot 10^{-3}~г. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "Фазовый переход", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "От антарктического ледового шельфа отломился огромный айсберг, который затем под действием океанического течения приплыл к некоторому городу. Один человек в городе придумал схему, позволяющую вырабатывать с помощью айсберга электричество. Она выглядит следующим образом: 1) сначала некоторое количество воздуха из окружающей среды необходимо поместить в контейнер с регулируемым объёмом, после чего привести его в контакт с айсбергом, позволяя воздуху внутри достичь его температуры при постоянном давлении; 2) удалить контейнер от айсберга, и, зафиксировав его объём, дать воздуху нагреться обратно до температуры окружающей среды; 3) зафиксировав объём контейнера, начать выпускать из него воздух, используя его энергию для работы устройства, вырабатывающего электричество. Цикл можно продолжать, пока весь айсберг не растает. Температура окружающей среды известна и равна $T_a=293~\text{К}$, температура айсберга равна температуре плавления льда $T_1=273~\text{К}$, а доступная масса айсберга $m=1.0\cdot10^{11}~\text{кг}$. Чтобы определить, какое количество электроэнергии можно выработать, создатель схемы использует следующие приближения и данные: 1) Воздух можно считать идеальным газом. 2) Теплота плавления льда равна $L=3.34\cdot10^5~\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$, и вода, образовавшаяся в результате таяния льда, больше не используется. 3) Внутренняя энергия воздуха $U=2.5pV$, где $p$ и $V$ – его давление и объём соответственно. 4) Теплообмен между контейнером и окружающей средой происходит достаточно быстро, чтобы считать температуру воздуха постоянной всё время, пока его выпускают из контейнера на шаге $(c)$. 5) Выход воздуха из контейнера может быть разделён на серию небольших процессов. Объём выходящего воздуха в каждом из них равен $u$, и $u$ много меньше объёма контейнера. В каждом процессе выходящий газ ускоряется под действием разности давлений внутри и снаружи, приобретая на выходе кинетическую энергию $\Delta E$. Несмотря на изменение объёма газа в процессе разгона, считайте, что давление в контейнере всё ещё однородно, а атмосферное давление не меняется. 6) Только $45\%$ кинетической энергии газа $\Delta E$ могут быть переработаны в электричество. 7) При $x\ll1$ пользуйтесь приближением $\ln{\left(1+x\right)}\approx x$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "15,00"}, "text": "Найдите, какое количество электроэнергии $E_1$ может быть получено из айсберга по предложенной схеме."}]} | [{"condition": "Найдите, какое количество электроэнергии $E_1$ может быть получено из айсберга по предложенной схеме. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_1=\frac{9}{70}mL\frac{1-\frac{T_1}{T_a}+\frac{T_1}{T_a}\ln{\frac{T_1}{T_a}}}{1-\frac{T_1}{T_a}}=1.5\cdot10^{14}~\text{Дж}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "15,00"}] | ["T", "Термодинамика", "Тепловые машины", "Китайские"] |
|
{"text": [{"text": "Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_{0}=20~м/с$ в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина - на преодоление трения качения."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? Примечание 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна. Примечание 2. Во всех случаях проскальзывания колес не возникает. Примечание 3. Уравнение третьей степени можно решить методом подбора."}]} | [{"condition": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен? ", "solution": {"text": "Сила трения $F_{в}$ между автомобилем и воздухом и сила трения качения $F_{к}$ уравновешиваются силой трения $F_{т}$ между колёсами и дорогой. Момент силы трения $M$ равен по модулю моменту, развиваемому двигателем машины: $$ M=F_{т} r=F_{в} r+F_{к} r, $$ где $r$ — радиус колёс машины. Двигатель развивает мощность $$ P=M \omega=M \frac{v_{отн}}{r}=\left(F_{в}+F_{к}\right) v_{отн}, $$ где $v_{отн}$ — скорость движения автомобиля относительно конвейера, $\omega$ — угловая скорость вращения колёс. По условию $F_{в}=k v_{в}^{2}$, где $v_{в}$ — скорость движения воздуха относительно автомобиля. Запишем выражения для мощностей, затрачиваемых на преодоление сопротивления воздуха и трения качения в случае неподвижного конвейера и отсутствия ветра: $$ \frac{P}{2}=k v_{0}^{3}=F_{к} v_{0}. $$ Отсюда найдем коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления воздуха от скорости и силу трения качения: $$ k=\frac{P}{2 v_{0}^{3}}, F_{к}=\frac{P}{2 v_{0}}. $$ В случае неподвижного конвейера и дующего навстречу ветра мощность двигателя равна $$ P=\left(k\left(v_{1}+v_{0}\right)^{2}+F_{к}\right) v_{1}, $$ откуда получаем уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{3}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{2}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)-2=0 . $$ Это уравнение имеет ровно один корень из промежутка $0$$ v_{1} \approx 0.575 v_{0} \approx 11.5~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{1} \approx 11.5~м/с. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? ", "solution": {"text": "Аналогично в случае движущегося конвейера мощность двигателя: $$ P=\left(k v_{2}^{2}+F_{к}\right)\left(v_{0}+v_{2}\right), $$ соответствующее уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{3}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)-1=0 . $$ Его решение также единственно, находим ответ численно: $$ v_{2} \approx 0.544 v_{0} \approx 10.9~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{2} \approx 10.9~м/с. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Вязкое трение", "Всероссийские", "Трение", "Мощность"] |
|
{"text": [{"text": "Из трех конденсаторов с емкостями $C_1$, $C_2$ и $C_3$ соответственно, катушки индуктивностью $L$ и источника постоянного напряжения $U_0$ собрана представленная на рисунке схема. В начальный момент времени конденсаторы не заряжены, а ток в катушке равен нулю. Ключ $K$ замыкают. Сопротивление соединительных проводов считать малым. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$."}]} | [{"condition": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$. ", "solution": {"text": "Ток через катушку индуктивности мгновенно измениться не может и сразу после замыкания ключа \( K \) остается равным нулю. При этом, так как сопротивления подводящих проводов очень мало, то практически мгновенно заряжаются конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ до зарядов $ q_{10} $ и $ q_{20}$ соответственно, а конденсатор \( C_{3} \) останется не заряженным: \( q_{30}=0 \), так как он заряжается через катушку индуктивности. Отметим, что в проводах выделяется джоулево тепло. Таким образом, в в начальный момент времени конденсаторы $C_1$ и $C_2$ подключены последовательно к источнику постоянного напряжения \( U_{0} \) и заряды их равны \[ q_{10}=q_{20}, \] а напряжения на них складываются, так что \[ \frac{q_{10}}{C_{1}}+\frac{q_{20}}{C_{2}}=U_{0}, \] Таким образом, из уравнений выше находим \[ q_{10}=q_{20}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Полная энергия системы сразу после замыкания ключа \( K \) оказывается равной \[ W_{0}=\frac{q_{10}^{2}}{2 C_{1}}+\frac{q_{20}^{2}}{2 C_{2}}=\frac{C_{1} C_{2} U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)} \] После зарядки конденсаторов \( C_{1} \) и \( C_{2} \) ток через катушку начинает возрастать и в системе начинаются гармонические колебания, при которых уже можно пренебречь джоулевыми потерями, так как сопротивления подводящих проводов мало. Заметим, что в тот момент времени, когда ток в катушке максимален, напряжение на ней равно нулю и конденсаторы $C_2$ и $C_3$ оказываются включенными параллельно. Для такого соединения конденсаторов выполняются следующие соотношения для зарядов $$ q_{1}=q_{2}+q_{3} \\ \frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{q_{3}}{C_{3}} \\ \frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{C_{2}}=U_{0} $$ Решая совместно уравнения выше, находим заряды конденсаторов $$ q_{1}=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{2}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{3}=\frac{C_{1} C_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} $$ а энергия системы в этом состоянии очевидно равна \[ W=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right) U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)}+\frac{L I_{\max }^{2}}{2} \] Работа источника при этом составляет величину \[ A=\left(q_{1}-q_{10}\right) U_{0} \] а закон сохранения энергии записывается в виде \[ W_{0}+A=W \] откуда находим максимальный ток"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ I_{\max }=\sqrt{\cfrac{C_{3}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right) L}} C_{1} U_{0} $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$. ", "solution": {"text": "Нахождение минимального напряжения \( U_{\min } \) на конденсаторе \( C_{2} \) несколько более сложная задача, которая имеет простое решение. Очевидно, что в системе происходят гармонические колебания, при которых постоянно потенциальная энергия переходит в кинетическую. Для представленной электрической цепи роль кинетической энергии играет энергия катушки индуктивности. Следовательно, когда ток через катушку равен нулю, то система находится в самом крайнем положении, при этом напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) равно \[ U_{20}=\frac{q_{20}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Отметим, что равенство тока нулю соответствует начальному моменту замыкания ключа \( K . \) После того, как пройдет четверть периода, ток в катушке становится максимальным, система проходит через положение равновесия и напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) падает до значения \[ U_{2}=\frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \] то есть падает на величину \( U_{20}-U_{2} . \) Еще через четверть периода напряжение на конденсаторе упадет еще на такую же величину, которая в тоже время равна \( U_{2}-U_{\min }, \) поэтому искомое минимальное напряжение оказывается равным"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ U_{\min }=2 U_{2}-U_{20}=\cfrac{C_{1}\left(C_{1}+C_{2}-C_{3}\right)}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)} U_{0} $"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электромагнетизм", "Цепь с конденсатором", "Цепь с катушкой", "Расчет цепей", "2021", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкая плоско-параллельная стеклянная пластина с показателем преломления $n = 1.5$ разрезана на две части, одна из которых представляет собой бипризму Френеля с малым преломляющим углом $\gamma = 0.1~рад.$ (см. рисунок). <img_0> Пластина облучается мощным пучком монохроматического излучения с интенсивностью $I = 10~кВт/см^{2}$. Свет падает перпендикулярно плоскости пластины площадью $S = 10~см^{2}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? Потерями света в стекле и отражением на границах пренебречь."}]} | [{"condition": "Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? ", "solution": {"text": "Со стороны излучения на бипризму действует сила давления, связанная с преломлением света. Эта сила направлена вдоль оси x распространения пучка света и по величине равна изменению импульса фотонов в единицу времени. Каждый фотон после прохождения через призму отклоняется на угол $$\theta=(n-1)\gamma.$$Изменение импульса фотона$$\Delta p_{x}=p(1-\cos\theta)\approx \frac{p\theta^{2}}{2}=\frac{p(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2}=\frac{\left(\frac{hv}{c}\right)(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2}.$$Число фотонов падающих на призму в единицу времени$$N=\frac{IS}{hv}.$$Сила $$F=N\Delta p_{x}\frac{IS(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2c}=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$Так как полный импульс фотонов после прохождения пластины не изменяется, то на вторую призму (вогнутую) действует такая же по величине сила, но противоположная по направлению. Таким образом, для создания небольшого зазора, необходимо преодолеть силу давления излучения, растягивая призмы в разные стороны силой $$F=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F=N\Delta p_{x}\frac{IS(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2c}=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Две сферы c радиусами $r$ и $R$ $(r < R)$ и общим центром разбивают пространство на три области. <img_0> Внутренность малой сферы равномерно заряжена по объёму с плотностью $-\rho$, пространство между сферами равномерно заряжено с объёмной плотностью $+\rho$, вне большой сферы зарядов нет."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите отношение радиусов $R/r$, при котором потенциал в центре симметрии системы будет равен потенциалу на бесконечности."}]} | [{"condition": "Найдите отношение радиусов $R/r$, при котором потенциал в центре симметрии системы будет равен потенциалу на бесконечности. ", "solution": {"text": "Из соображений размерности потенциал в центре равномерно заряженного по объёму шара относительно бесконечно удаленной точки равен $$\varphi \sim k\frac{q}{R}\sim \alpha\frac{\rho R^3}{R}\sim \alpha\rho R, \tag{1}$$где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех шаров.Нашу систему зарядов можно представить как результат суперпозиции шара радиусом $R$, заряженного с плотностью $+\rho$, и шара радиусом $r$, заряженного с плотностью $-2\rho$. Тогда для потенциала в центре имеем$$\alpha\rho R^2+\alpha(-2\rho)r^2=0, \tag{2}$$откуда$$\frac{R}{r}=\sqrt{2}. \tag{3}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{R}{r}=\sqrt{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Вертикальный цилиндр радиуса $R$ укреплён на гладкой горизонтальной поверхности. На цилиндр плотно намотана нить, свободный конец которой длиной $l_0$ соединён с небольшой шайбой массы $m$. Шайбе сообщили горизонтальную скорость $v$, перпендикулярную нити (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$."}]} | [{"condition": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$. ", "solution": {"text": "Так как нить нерастяжима и натянута, то скорость шайбы всегда перпендикулярна нити. Поэтому сила натяжения нити работы не совершает и скорость шайбы остаётся постоянной по модулю$$v=\operatorname{const}. \tag{1}$$Шайба движется по траектории с радиусом кривизны, равным длине не намотанной нити $l$, поэтому условие разрыва нити находится из второго закона Ньютона$$T=m\frac{v^2}{l}. \tag{2}$$Длина нити изменяется в результате наматывания на цилиндр на величину$$dl=-Rd\alpha, \tag{3}$$где$$d\alpha=\omega dt, \tag{4}$$а угловая скорость вращения нити равна$$\omega=\frac{v}{l}. \tag{5}$$Из уравнений $(3)-(5)$ следует, что$$ldl=-Rvdt, \tag{6}$$а его интегрирование дает$$l^2-l^2_0=-2R vt. \tag{7}$$Подставляя $(1)$ в $(7)$, получаем искомое время$$t=\frac{l_0^2-\left(\frac{mv^2}{T}\right)^2}{2Rv}=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В однородной плазме с концентрацией зарядов $n$ (число зарядов каждого знака в единице объема) все электроны, первоначально находящиеся в слое толщиной $d$, смещаются по нормали к этому слою на расстояние $d$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найти напряженность электрического поля в точках плоскости $S$ (см. рисунок). <img_0>"}]} | [{"condition": "Найти напряженность электрического поля в точках плоскости $S$ (см. рисунок). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ E_{s s}=\frac{e n d}{\varepsilon_{0}} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Электростатика", "Напряженность", "Плазма", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкая гибкая замкнутая лента, состоящая из проводящих пластин шириной $a$, разделенных изолирующими промежутками шириной $b$ $(b \gg a)$, с помощью шкивов приведена в соприкосновение с обкладками плоского конденсатора (см. рисунок). <img_0> Расстояние между обкладками равно $d$ $(d \gg b)$, ширина ленты $l$. Конденсатор подключили к батарее, создающей напряжение $U$ между обкладками. С помощью внешнего воздействия шкивы провернули на несколько оборотов, после чего воздействие устранили, а лента продолжала движение с установившейся скоростью $v$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой ток $I$ протекает через батарею?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какую мощность $P$ затрачивает батарея при движении ленты?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Какая сила трения $F$ действует на ленту? Считайте, что трение есть только между лентой и нижней обкладкой."}]} | [{"condition": "Какой ток $I$ протекает через батарею? ", "solution": {"text": "Напряженность поля в конденсаторе $E=U / d$. Во время касания ленты и пластин конденсатора на ленту переходит заряд с такой же поверхностной плотностью, какая была на пластинах конденсатора:$$\sigma=\varepsilon_{0} E=\frac{\varepsilon_{0} U}{d}.$$Интервал времени между касаниями между соседними проводящими пластинами и верхней обкладкой конденсатора$$\tau=\frac{a+b}{v} \approx \frac{b}{v}.$$При каждом таком прикосновении заряд проводящей пластины меняется с $-q$ на $q$, где $q=\sigma a l$. Поэтому ток через батарею$$I=\frac{2 q}{\tau}=2 v \varepsilon_{0} U \frac{a l}{b d}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I=2 v \varepsilon_{0} U \frac{a l}{b d}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какую мощность $P$ затрачивает батарея при движении ленты? ", "solution": {"text": "$$ P=U I=2 v \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ P=2 v \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d} . $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая сила трения $F$ действует на ленту? ", "solution": {"text": "Поскольку скорость ленты не изменяется, то мощность суммарной силы трения $P^{\prime}=F v$ по абсолютной величине равна мощности батареи, откуда $$ F=2 \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ F=2 \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Конденсатор", "Электромагнетизм", "Всероссийские", "Мощность"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см. рисунок). <img_0> Считайте, что $n\gg 1$."}]} | [{"condition": "Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см. рисунок). ", "solution": {"text": "Кинетическая энергия колебаний$$E_{k}=n\frac{mv^{2}}{2}=n\frac{mx^{'2}}{2}=\frac{\alpha x^{'2}}{2}, \text{ где } \alpha=nm.$$Потенциальная энергия колебаний$$E_{p}=\frac{(k/n)(\Delta l)^{2}}{2}=\frac{(k/n)(2\pi x)^{2}}{2}=\frac{(4\pi^{2}k/n)\cdot x^{2}}{2}=\frac{\beta x^{2}}{2},$$где $\beta = 4\pi ^{2}k/n$. Циклическая частота $$\omega^{2}=\beta/\alpha=4\pi^{2}k/n^{2}m.$$Период колебаний$$T=2\pi/\omega=n\sqrt{m/k}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=n\sqrt{m/k}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Из одного куска нихромовой проволоки спаяли прямоугольный треугольник с катетами длиной $3 a$ и $4 a$. К трем сторонам проволочного треугольника подсоединили небольшие по размерам вольтметры так, что соединительные провода и стороны треугольника образуют квадраты (см. рисунок). <img_0> Вся конструкция находится в одной плоскости, перпендикулярно которой направлено однородное магнитное поле. Индукция поля изменяется со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t}=k>0$. Сопротивления вольтметров намного больше сопротивления сторон треугольника."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите показания вольтметров."}]} | [{"condition": "Найдите показания вольтметров. ", "solution": {"text": "ЭДС в проволочном треугольном контуре направлена против часовой стрелки и равна $\mathscr{E}=6 k a^{2}$. Пусть сопротивления сторон треугольника равны $3 R$, $4 R$ и $5 R$. Тогда сила тока в треугольнике$$I=\frac{\mathscr{E}}{3 R+4 R+5 R}=\frac{k a^{2}}{2 R} .$$Этот ток направлен против часовой стрелки. Сила тока через вольтметры намного меньше $I$. ЭДС в контуре в виде квадрата со стороной $3 a$ равна $\mathscr{E}_{1}=9 k a^{2}$ и «направлена» против часовой стрелки. По второму правилу Кирхгофа для этого контура $\mathscr{E}_{1}=U_{1}- 3RI$. С учетом выражений для $\mathscr{E}_{1}$ и $I$ находим показания вольтметра $V_{1}$ :$$U_{1}=\mathscr{E}_{1}+3 R I=\frac{21}{2} k a^{2} .$$Аналогично находим показания вольтметров $V_{2}$ и $V_{3}$ :$$U_{2}=18 k a^{2}, \quad U_{3}=\frac{55}{2} k a^{2} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{array}{l}U_{1}=\mathscr{E}_{1}+3 R I=\frac{21}{2} k a^{2} .\\U_{2}=18 k a^{2}.\\U_{3}=\frac{55}{2} k a^{2} .\end{array}"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электромагнетизм", "Всероссийские", "Электромагнитная индукция", "Напряжение"] |
|
{"text": [{"text": "В течение своей «жизни» айсберг несколько раз опрокидывается, поворачиваясь на $90^\circ$. Для изучения этого явления любознательный школьник проделал несколько модельных экспериментов, наблюдая процесс таяния льда в ванне. Опыты показали, что «айсберг» неустойчив к перевороту, если хотя бы один из его поперечных размеров меньше его высоты примерно на $20\%$. Затем был проделан следующий количественный эксперимент: тающий брусок льда в форме параллелепипеда размером $a\times b \times c= 10 \times 10 \times 8~ см^3$ опускался в ванну с водой при температуре $t_0 = 20^\circ С$. Попытки заставить плавать «айсберг» в положении а) (см. рис) не увенчались успехом: он практически сразу самопроизвольно опрокидывался в устойчивое положение б). Далее в процессе таяния «айсберг», оставаясь параллелепипедом (тонкий надводный козырёк подтаивал и практически не образовывался), изменялся в размерах и примерно через полчаса ($\tau_0 = 30~ мин$) самопроизвольно опрокинулся. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какими были размеры модельного «айсберга» непосредственно перед этим опрокидыванием?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "На основании описанного опыта оцените время $\tau_1$ опрокидывания реального айсберга с размерами $500\times 500 \times 400~ м^3$ в океане с температурой $t_1= 5^\circ С$. Каковы его размеры при опрокидывании? Считайте, что теплоподвод происходит только по воде и скорость таяния пропорциональна разности температур льда и окружающих его вод. Примечание. Температуру айсбергов принять равной $0^\circ С$."}]} | [{"condition": "Какими были размеры модельного «айсберга» непосредственно перед этим опрокидыванием? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ 4\times 4 \times 5~см^3 $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На основании описанного опыта оцените время $\tau_1$ опрокидывания реального айсберга с размерами $500\times 500 \times 400~ м^3$ в океане с температурой $t_1= 5^\circ С$. Каковы его размеры при опрокидывании? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau_{1} \simeq 4 y / x \approx 1 \text { год и } 2 \text { месяца. } $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Всероссийские", "Устойчивость равновесия", "Теплообмен"] |
|
{"text": [{"text": "В закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса $R$ полностью заполненном водой находится однородный сплошной шар радиуса $R/2$. Сосуд раскрутили вокруг его вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. Плотность воды — $\rho_{0}$, плотность материала шара — $\rho$."}]} | [{"condition": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. ", "solution": {"text": "На шар действует сила давления со стороны стенки $\vec{F}_{1}$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стенку) и сила давления $\vec{F}_{A}$ со стороны жидкости (сила Архимеда). Центр шара движется по окружности радиуса $R/2$ с угловой скоростью $\omega$, поэтому на основании второго закона Ньютона для центра масс можно записать уравнение$$m\omega^{2}\frac{R}{2}=F_{1}+F_{A}, \ (1.1)$$где $m=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho$ — масса шара. Сила Архимеда может быть записана в виде (по аналогии с выводом закона Архимеда из условия равновесия жидкости)$$F_{A}=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}. \ (1.2)$$Из уравнения (1.1) с учетом формулы (1.2) получаем:$$F_{1}=\frac{1}{6} \pi R^{3} \rho \frac{\omega^{2}R}{2}-\frac{1}{6}\pi R^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}). \ (1.3)$$Заметим, что данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$. В противном случае шар не будет касаться стенки (уплывет к оси сосуда), поэтому при $\rho < \rho_{0}$ сила давления будет равна нулю."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_{1}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}).$$Данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Что покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? <img_0> Сопротивление амперметра пренебрежимо мало."}]} | [{"condition": "Что покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $3~А$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Всероссийские", "Цепь с резистором", "Амперметр"] |
|
{"text": [{"text": "Маленькая шайба массы $m_{1}$ лежит на краю длинной доски массой $m_{2}$, покрытой смазкой (см. рисунок). <img_0> Трение между шайбой и доской вязкое (сила трения, действующая на шайбу, $\vec{F}=-\alpha_{отн} \cdot \vec{v}_{отн}$, где $\vec{v}_{отн}$ — скорость шайбы относительно доски). Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Шайбе сообщают скорость $v_{0}$, направленную вдоль доски."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба?"}]} | [{"condition": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени? ", "solution": {"text": "Пусть $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ — скорости шайбы и доски соответственно. Обозначим через $\vec{u}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$ их относительную скорость. Найдем $\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}$. По второму закону Ньютона$$m_{1} \frac{\Delta \vec{v}_{1}}{\Delta t}=-\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right), \quad m_{2} \frac{\Delta \vec{v}_{2}}{\Delta t}=\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) .$$Отсюда$$\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}=-\alpha\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \vec{u}=-\frac{\vec{u}}{\tau}, \text{ где } \frac{1}{\tau}=\frac{\alpha}{\mu}, \quad \frac{1}{\mu}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right).$$Постоянная $\tau$ имеет размерность времени, а $\mu$ — массы. Таким образом, относительная скорость $\vec{u}$ будет изменяться по тому же закону, что и скорость материальной точки массой $\mu$, движущейся в вязкой среде с силой сопротивления $-\alpha \vec{u}$. Со временем эта материальная точка затормозится — установившееся значение скорости $\vec{u}$ будет равно нулю, то есть скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Их значения $\vec{v}$ можно найти из закона сохранения импульса:$$m_{1} \vec{v}+m_{2} \vec{v}=m_{1} \vec{v}_{0}, \quad v=v_{0} \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} .$$Обозначим через $\vec{r}$ вектор, соединяющий шайбу и конец доски. Поскольку $\vec{u}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, имеем$$\Delta \vec{r}=\vec{u} \Delta t=-\tau \Delta \vec{u} .$$При изменении скорости $u$ от $v_{0}$ до нуля $\left(\Delta u=-v_{0}\right)$ расстояние $r$ между шайбой и концом доски изменяется на$$\Delta r=v_{0} \tau.$$Таким образом, в установившемся режиме шайба и доска будут двигаться со скоростью $v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}$, а шайба удалится от края доски на расстояние$$L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Динамика", "Вязкое трение", "Всероссийские", "Относительное движение"] |
|
{"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна?"}]} | [{"condition": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$. ", "solution": {"text": "Из определения теплоемкости, первого закона термодинамики и формулы для внутренней энергии одного моля идеального газа $U=c_{v} T$ получаем для теплоемкости одного моля: $$ c=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+p \Delta V}{\Delta T}=\frac{c_{v} \Delta T+p \Delta V}{\Delta T}=c_{v}+p \frac{\Delta V}{\Delta T} . $$ Вычислим отношение $\frac{\Delta V}{\Delta T}$ в точке $A$ заданного процесса. Для этого рассмотрим бесконечно малый участок процесса от точки $A$ $\left(p_{A}=2 p_{0}, V_{A}=V_{0}\right)$ до близкой точки $B\left(p_{B}=p_{A}+\Delta p; V_{B}=V_{A}+\Delta V\right)$. Очевидно, $\Delta p$ и $\Delta V$ имеют разные знаки. Запишем уравнение процесса в виде $$ \frac{p}{p_{0}}+\frac{V}{V_{0}}=3. \quad (1) $$ В точке $A$ $$ \frac{p_{A}}{p_{0}}+\frac{V_{A}}{V_{0}}=3, \quad (2) $$ в точке $B$ $$ \frac{p_{A}+\Delta p}{p_{0}}+\frac{V_{A}+\Delta V}{V_{0}}=3. \quad (3) $$ Вычитая $(2)$ из $(3)$, для малых изменений $\Delta p$ и $\Delta V$ получаем $$ \frac{\Delta p}{p_{0}}+\frac{\Delta V}{V_{0}}=0. \quad (4) $$ Еще одно соотношение для малых изменений можно получить из уравнения Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний: $$ p_{A} V_{A}=R T_{A}, \quad \left(p_{A}+\Delta p\right)\left(V_{A}+\Delta V\right)=R\left(T_{A}+\Delta T\right) . $$ Раскроем скобки, вычтем из второго уравнения первое и пренебрежем малой поправкой $\Delta p \Delta V$: $$ p_{A} \Delta V+V_{A} \Delta p=R \Delta T, \text { или } 2 p_{0} \Delta V+V_{0} \Delta p=R \Delta T. \quad (5) $$ Теперь исключим $\Delta p$ из $(4)$ и $(5)$: $$ p_{0} \Delta V=R \Delta T, \text { или } p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=R. $$ Из формулы $(1)$ для теплоемкости газа в точке $A$ получаем $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 R=\frac{7}{2} R . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{7}{2} R . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна? ", "solution": {"text": "График данного процесса касается изотермы в точке $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$. Теплоемкость газа в левой окрестности этой точки стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Теплоемкость газа в левой окрестности точки $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$ стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Теплоемкость", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Теплоемкости тел могут зависеть от температуры (например, при низких температурах). Два одинаковых тела, удельные теплоемкости которых зависят от температуры $t$ по закону $$ c(t)=c_{0}(1+\alpha t), $$ (где $c_{0}$ и $\alpha$ — известные постоянные величины) приведены в тепловой контакт. Начальные температуры тел равны $t_{1}$ и $t_{2}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите установившуюся температуру тел. Потерями теплоты пренебречь."}]} | [{"condition": "Определите установившуюся температуру тел. ", "solution": {"text": "Построим график зависимости теплоемкости тел от температуры. <img_0> Площадь под этим графиком численно равна количеству полученной или отданной теплоты. Так как теплоемкости тел одинаковы, условию теплового баланса соответствует равенство площадей трапеций под графиком от $t_{1}$ до установившейся температуры $t^{*}$ и от $t^{*}$ до $t_{2}$. Из этого условия следует равенство$$(c(t_{1})+c(t^{*}))\cdot (t^{*} -t_{1})=(c(t_{2})+c(t^{*}))\cdot (t_{2}-t^{*}). \ (1.4)$$Подстановка выражения для теплоемкости приводит к уравнению$$(1+\alpha t_{1}+1+\alpha t^{*})(t^{*}-t_{1})=(1+\alpha t_{2}+1+\alpha t^{*})(t_{2}-t^{*}), \ (1.5)$$положительный корень которого дает ответ на вопрос задачи:$$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{1+\alpha(t_{1}+t_{2})+\frac{\alpha^{2}}{2}(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})}-1 \right)=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). \ (1.6)$$ Примечания. 1. Возможен интересный геометрический вариант решения данной задачи. Продлим график зависимости теплоемкости от температуры до пересечения с осью температур (точка $A$). <img_1> Обозначим площади треугольников от точки $A$ до соответствующих температур $S_{1}$, $S^{*}$, $S_{2}$. Так как эти треугольники подобны, то их площади пропорциональны квадратам высот, то есть $c^{2}(t)$. Условие равенства нужных площадей имеет вид$$S_{2}-S^{*}=S^{*}-S_{1.}$$Откуда следует$$S^{*}=\frac{S_{1}+S_{2}}{2},$$или$$(1+\alpha t^{*})^{2}=\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}.$$Из этого уравнения конечная температура $t^{*}$ выражается элементарно. 2. Допустимо получить выражение для внутренней энергии тел (проинтегрировав теплоемкости) и затем записать закон ее сохранения."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Эквивалентная схема реального источника переменного напряжения частоты $\omega = 1.00\cdot 10^3~с^{-1}$ состоит из идеального источника напряжения амплитудой $U = 15.0~В$, резистора $r = 2019~Ом$ и конденсатора $C = 100~мкФ$. К источнику можно подключать в качестве нагрузки различные схемы из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность."}]} | [{"condition": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность. ", "solution": {"text": "Пусть $R$ — активная составляющая нагрузки (действительная часть импеданса), а $X$ — реактивная составляющая всей цепи (мнимая часть полного импеданса). Тогда амплитуда тока равна$$I=\frac{U}{\sqrt{(r+R)^2}+X^2}.$$Средняя тепловая мощность в нагрузке$$P=\frac{1}{2}I^2R=\frac{U^2R}{2[(r+R)^2+X^2]}.$$Видно, что максимальной мощности соответствует $X = 0$, т.е. в цепи не должно быть сдвига фаз. Оставшееся выражение имеет максимум при $R = r$.Сдвиг фаз будет нулевым, если последовательно конденсатору подключить катушку, такую что $\frac{1}{\omega C}=\omega L$ откуда $L=\frac{1}{\omega^2C}=1.00\cdot10^{-2}~Гн$.Получается, что простейшая нагрузка должна состоять из последовательно соединённых резистора, сопротивлением $2019~Ом$ и катушки индуктивностью $1.00 \cdot 10^{−2}~Гн$.Максимальная мощность равна$$P_{\max}=\frac{1}{2}\frac{U^2}{4r}=\frac{U^2}{8r}=13.9~мВт.$$"}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс, график которого в координатах $VT$ полностью лежит на прямой линии. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите теплоёмкость газа в точке $A$, равноудалённой от точек пересечения этой прямой с осями координат."}]} | [{"condition": "Найдите теплоёмкость газа в точке $A$, равноудалённой от точек пересечения этой прямой с осями координат. ", "solution": {"text": "По определению теплоемкость равна$$C=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+P\Delta V}{\Delta T}=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}. \tag{1}$$Пусть в требуемой точке параметры газа равны $(P_0, V_0, T_0)$. Тогда уравнение процесса имеет следующий вид$$\frac{V}{V_0}+\frac{T}{T_0}=2. \tag{2}$$Для малых изменений получаем$$\frac{\Delta V}{V_0}+\frac{\Delta T}{T_0}=0, \tag{3}$$$$\frac{\Delta V}{\Delta T}=-\frac{V_0}{T_0}. \tag{4}$$Окончательно, с учётом равенства $P_0V_0=RT_0$, получаем$$C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=C_V-P_0\frac{V_0}{T_0}=C_V-R=\frac{R}{2}. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{R}{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Упоры-ролики $А$ и $Б$ позволяют «закрепить» балку горизонтально (см. рис.). Давить на балку роликом можно с силой, не превышающей $F_0$, иначе она разрушается. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой самый большой груз можно подвесить к правому концу балки?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Как нужно ее расположить при этом? Масса балки $m$, длина $L$, расстояние между роликами по горизонтали $l$."}]} | [{"condition": "Какой самый большой груз можно подвесить к правому концу балки? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Балку нужно расположить так, чтобы она находилась в равновесии при силе реакции со стороны упора $A$, равной нулю. Тогда наибольшая масса груза будет равна $$ M=\frac{F_0}{g} - m $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Как нужно ее расположить при этом? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Расстояние от упора $Б$ до правого конца балки будет равно $$ x=\frac{L}{2}\frac{m}{M+m}=\frac{L}{2}\frac{mg}{F_0} $$ Ограничения на $l$ не существенны."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Статика", "Всероссийские", "Момент сил"] |
|
{"text": [{"text": "«Черный ящик» содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три вывода. При его исследовании были получены следующие результаты. В схеме, изображенной на рисунке а, амперметр показал $I_1 = 0.1~ А$ при частоте генератора $v_1 = 1000 ~Гц$, а ток через него отставал от входного напряжения на $\pi/6$. Частоту генератора уменьшили в $100$ раз, при этом ток возрос менее чем в $2$ раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению, а вместо амперметра подключили вольтметр, как показано на рисунке б. Он показал $U_1=20 ~В$, а сдвиг фаз между напряжением на вольтметре и входным напряжением опять составил по величине $\pi/6$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика»."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме на рисунке б сдвиг фаз составил $\pi/2$? Измерительные приборы можно считать идеальными. Напряжение на выходе генератора неизменно, его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало."}]} | [{"condition": "Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика». ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме на рисунке б сдвиг фаз составил $\pi/2$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Конденсатор", "Всероссийские", "Переменный ток", "Черный ящик", "Амперметр"] |
|
{"text": [{"text": "Система, изображенная на рисунке, предоставлена самой себе. <img_0> При этом оказалось, что невесомый брус длины $L=1~м$ движется вверх с ускорением $g / 2$, оставаясь все время в горизонтальном положении."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите расстояние $x$, на котором подвешено тело массы $m_{3}$, если известно, что $m_{1}=2~кг$, $m_{2}=3~кг$. Трением можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Определите расстояние $x$, на котором подвешено тело массы $m_{3}$, если известно, что $m_{1}=2~кг$, $m_{2}=3~кг$. ", "solution": {"text": "Так как брус движется, все время оставаясь в горизонтальном положении, то ускорение тел, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно, равно $\frac{g}{2}$ и направлено вниз (см. рисунок). <img_1> Запишем следующую систему уравнений:$$\left\{\begin{array}{l}\frac{m_{1} g}{2}=m_{1} g-T_{1}, \\\frac{m_{2} g}{2}=m_{2} g-T_{2}\end{array}\right.$$и уравнение для моментов сил относительно точки $O$ :$$T_{1} x=T_{2}(L-x).$$Отсюда $x=L \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=0.6~м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=L \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=0.6~м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Динамика", "Всероссийские", "Блоки", "Момент сил"] |
|
{"text": [{"text": "В электрической цепи (см. рисунок) все элементы можно считать идеальными. <img_0> Вначале конденсатор ёмкостью $C$ не заряжен. Ключ $K$ замыкают, а затем, когда скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума - размыкают."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите мощность $N$, которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Пусть сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{2}=R$. В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время $$ $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$."}]} | [{"condition": "Найдите мощность $N$, которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа. ", "solution": {"text": "Пусть $I_{C}$ — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, а $I_{R}$ — сила тока, протекающего через резистор $R_{2}$, включённый параллельно конденсатору, $I$ — ток через источник, $q_{R}$ — заряд, протекший через резистор $R_{2}$, $q_{C}$ — заряд конденсатора, $q$ — заряд, протекший через источник, $U$ — напряжение на конденсаторе и резисторе $R_{2}$. Тогда $$ U=\frac{q}{C}=I_{R} R_{2}=\mathscr{E}-I R_{1}, $$ откуда находим $$ I=\frac{\mathscr{E}-U}{R_{1}}, \quad I_{R}=\frac{U}{R_{2}}, \quad I_{C}=I-I_{R}=\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right). $$ Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом $$ P=U \cdot I_{C}=U\left[\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\right], $$ максимум которого находится посередине между его корнями $$ U_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, \quad I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}}. $$ Ток через источник в этот момент $$ I=I_{R}+I_{C}=\frac{U_{m}}{R_{2}}+I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, $$ а искомая мощность источника равна $$ N=\mathscr{E} I=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ N=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{2}=R$. В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. ", "solution": {"text": "Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами $\left(R_{1}=R_{2}=R\right)$ $$ \mathscr{E}=I R_{1}+I_{R} R_{2}=\left(I+I_{R}\right) R, $$ домножим это уравнение на $\Delta t$ $$ \mathscr{E} \Delta t=\left(I \Delta t+I_{R} \Delta t\right) R=\left(\Delta q+\Delta q_{R}\right) R $$ и просуммируем по времени от $0$ до $t_{0}$: $$ \mathscr{E} t_{0}=\left(q+q_{R}\right) R=\left(2 q-q_{C}\right) R. \quad\left(q_{R}=q-q_{C}\right) $$ Отсюда с учётом $$ q_{C}=C U_{m}=\frac{C \mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{C \mathscr{E}}{4} $$ находим $q$ $$ q=C \mathscr{E} \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \ln 2\right). $$ Из закона сохранения энергии найдем количество теплоты $Q$, выделившееся в цепи при замкнутом ключе $К$: $$ Q=\mathscr{E} q-\frac{q_{C}^{2}}{2 C}=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}\left(\frac{3}{8}+\ln 2\right)=0.27 C \mathscr{E}^{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}\left(\frac{3}{8}+\ln 2\right)=0.27 C \mathscr{E}^{2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "RC-цепи", "Всероссийские", "Электрические цепи", "Энергия"] |
|
{"text": [{"text": "На гладкую поверхность закреплённой на столе полусферы радиуса $R$ кладут небольшое тело и отпускают без толчка. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1A", "exponent": "2,00"}, "text": "На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_{0}$."}]} | [{"condition": "На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_{0}$. ", "solution": {"text": "Запишем для тела второй закон Ньютона в проекции на радиус$$m\frac{v^{2}}{R}=mg\cos\alpha-N, \ (1)$$и закон сохранения энергии$$\frac{mv^{2}}{2}=mgx. \ (2)$$Из системы уравнений $(1)$ и $(2)$ получаем при $N = 0$ условие отрыва:$$h = 2x,$$где $h = R \cos\alpha$ — высота тела над центром сферы. <img_1> Таким образом, тело оторвётся, когда его высота над центром будет вдвое больше высоты, на которую он опустился от начального положения. Поэтому $$h=\frac{2}{3}h_{0}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h=\frac{2}{3}h_{0}.$$"]}, "number_part": "1A", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В горизонтальный цилиндрический сосуд герметично вставлен поршень, перемещающийся с помощью прикреплённой к нему рукоятки. В сосуде находится насыщенный пар воды при температуре $T_0=333~\text{К}$. Жидкой фазы воды в сосуде нет.Водяной пар можно считать идеальным многоатомным газом. Удельная теплота парообразования воды при температуре $T_0$ равна $L=2{.}36~\text{МДж}/\text{кг}$ и в рамках задачи может считаться не зависящей от температуры. Универсальная газовая постоянная равна $R=8{.}31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}})$. Молярная масса воды равна $\mu=18.0~\text{г}/\text{моль}$.Считайте известным, что малые относительные изменения давления насыщенного пара и его абсолютной температуры вблизи значений $p_0(T_0)$ и $T_0$ соответственно связаны соотношением $\varepsilon_p=\Delta{p}/p_0=\alpha\varepsilon_T=\alpha\cdot\Delta{T}/T_0$, где $\alpha=15{.}3$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным. Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Рассмотрим адиабатически изолированный сосуд."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}]} | [{"condition": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным. Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? ", "solution": {"text": "Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: $$\delta{Q}=dU+\delta{A}=dU+pdV=dU+d(pV)-Vdp{.} $$ Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева-Клапейрона: $$U=\nu C_VT\qquad pV=\nu RT{.} $$ Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе: $$d(pV)=\nu RdT{.} $$ Тогда получим: $$\delta{Q}=\nu C_VdT+\nu RdT-Vdp=\nu C_pdT-Vdp{,} $$ где $C_p=C_V+R=4R$ — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении. Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры $(p{,}T)$, имеем: $$C=\cfrac{\delta{Q}}{dT}=\nu C_p-V\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu C_p-\cfrac{\nu RT}{p}\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu\left(C_p-R\cdot\cfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right){.}$$ Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C_\text{нас}=C_p-\alpha R=R(4-\alpha)=-93{.}9~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}}){.}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии. Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим: $$pV=\nu RT\Rightarrow pdV+Vdp=\nu RdT=\cfrac{pVdT}{T}\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_T} {.}$$ Запишем первое начало термодинамики: $$dU=-\delta{A}\Rightarrow \nu C_VdT=-pdV=-\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow{\varepsilon_T=-\cfrac{R\varepsilon_V}{C_V}} {.}$$ Обратим внимание, что $\varepsilon_T>0$, поскольку $\varepsilon_V<0$. Далее находим: $$\varepsilon_p=\varepsilon_T-\varepsilon_V=\varepsilon_T\left(1+\cfrac{C_V}{R}\right)=\cfrac{C_p\varepsilon_T}{R}=4\varepsilon_T<\alpha\varepsilon_T {.}$$ Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для $\varepsilon_T$ является применимым и температура увеличивается на величину, равную:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=T_0\cdot\cfrac{\beta}{C_V/R}=\cfrac{\beta T_0}{3}\approx 5{.}6~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно. Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:$$pV=\nu RT\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu+\varepsilon_T}\Rightarrow{\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu}{,}$$поскольку в рассматриваемом процессе $\varepsilon_p=\alpha\varepsilon_T$. Из первого начала термодинамики:$$\delta{Q}_\text{нас}+L dm=0{,}$$где $Q_\text{нас}$ - количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а $dm=\mu d\nu$ - изменение массы водяного пара.Поскольку состояние не конденсирующегося водяного пара в координатах $(p{,}T)$ описывается кривой фазового равновесия — его теплоёмкость равна теплоёмкости $\nu C_\text{нас}$, полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты $\delta{Q}_\text{нас}$ имеем:$$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_\text{нас}dT{.}$$ Примечание: Отметим, что формула $$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_VdT+pdV{,}$$ где $dV$ – изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина $dV$ не равна изменению объёма, занимаемого не конденсирующимся водяным паром. Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:$$\nu C_\text{нас}dT+\lambda\mu d\nu=0\Rightarrow{=\varepsilon_\nu=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }}{.}$$Отсюда:$$\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }{.}$$Окончательно находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(C_p-\alpha R)T_0}{\mu\lambda}}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(4-\alpha)R}{\mu\lambda}}\approx-1{.}2~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}] | ["T", "★", "Термодинамика", "Теплоемкость", "Влажность", "Всероссийские", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "Тело остывает в воздухе так, что скорость теплообмена пропорциональна разности температур тела и воздуха. На графике показана зависимость температуры тела от времени. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите температуру воздуха."}]} | [{"condition": "Найдите температуру воздуха. ", "solution": {"text": "Возможное решение. Мощность потока теплоты от тела в воздух пропорциональна разности температур тела $T$ и воздуха $T_x$ с коэффициентом $\alpha$, то есть$$P=\alpha(T-T_x), \tag{1}$$в результате чего тело с теплоемкостью $C$ за время $dt$ остывает на $dT$, которое подчиняется уравнению баланса теплоты$$CdT=-Pdt. \tag{2}$$Уравнения $(1)$ и $(2)$ при начальном условии $T=T_0$ имеют решение$$T(t)=T_x+(T_0-T_x)e^{\beta t}, \tag{3}$$где $\beta=\alpha/C$ — некоторая постоянная.Пусть за некоторый интервал времени тело остыло от температуры $T_0$ до температуры $T_1$, тогда из $(3)$ $$(T_1-T_0)=\gamma(T_0-T_x). \tag{4}$$где $\gamma$ — постоянная. За следующий такой же промежуток времени эта разность также изменится в $\gamma$ раз$$(T_2-T_1)=\gamma(T_1-T_x). \tag{5}$$Из этих уравнений следует уравнение$$\frac{(T_0-T_x)}{T_1-T_0}=\frac{(T_1-T_x)}{T_2-T_0}, \tag{6}$$которое имеет решение$$T_x=\frac{T_0T_2-T_1^2}{(T_0+T_2)-2T_1}. \tag{7}$$Из графика легко найти: начальная температура $T_0= 373~К$, через $10$ минут $T_1= 337~К$, через $20$ минут $T_2=319~К$. Подставляя эти значения в формулу $(7)$, находим, что комнатная температура равна$$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Ионы внутри ионных ловушек взаимодействуют с падающим на них светом, поэтому можно получить их "фотографии". Для этого можно использовать флуоресценцию: процесс самопроизвольного перехода между двумя состояниями системы, сопровождающийся излучением света. Рассмотрение любой системы с точки зрения квантовой механики приводит к тому, что у этой системы выделяются дискретные энергетические уровни и соответствующие им состояния. Другими словами стационарное состояние квантовой системы (в отличии от классической) не может быть вообще любым, а лишь одним из некоторого дискретного набора. Для описания громадного количества свойств квантовых объектов достаточно использовать двухуровневую систему (ДУС) - то есть рассматривать переходы системы только между двумя ее уровнями. В частности рассмотрим два уровня в ионе $\rm ^{41}Ca^+$. Чтобы различать их, назовем их $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Разность энергий между ними соответствует энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Энергия фотона задается уравнением $\hbar \omega$, где $\hbar=1.05 \cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$ - постоянная Планка, а $\omega = 2\pi c / \lambda$ - частота фотона. Скорость света $c=2.98 \cdot 10^8~\text{м}/\text{с}$, элементарный заряд $e=1.602 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Любая ДУС находится не в чистом вакууме, а в "бане" электромагнитного излучения, с которой она может обмениваться энергией. Это приводит к тому, что если ДУС находится не в состоянии с наименьшей энергией, то она с некоторой вероятностью излучает фотоны. В нашем случае это проявляется в том, что если ион $\rm ^{41}Ca^+$ находится в состоянии $4^2P_{1/2}$ то он с вероятностью в единицу времени $\Gamma = dP/dt$ самопроизвольно релаксирует в состояние $4^2S_{1/2}$ при этом испуская фотон с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Это явление и называется флюоресценцией."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. Принцип неопределенности Гейзенберга состоит в том, что для любого квантового объекта существует принципиально непреодолимая неопределенность определения импульса $\sigma_p$ и неопределенность определения координаты $\sigma_x$, которые связаны выражением"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. Поглощение ионом света и флюоресценция используются для уменьшения их кинетической энергии, то есть для охлаждения. Такой метод называется доплеровским охлаждением. Его идея заключается в том, что двигающийся ион поглощает свет не длины волны $\lambda$ а длины волны $\lambda + \delta \lambda$ из-за эффекта Доплера."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона?"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? Если ион поглощает фотон, то ему передается импульс фотона $\hbar \omega/c$. При флюоресценции наоборот ион отдает импульс $\hbar \omega/c$ испущенному фотону. Но при этом импульс поглощаемых фотонов направлен в одну сторону, а импульс испущенных фотонов направлен в случайном направлении! Поэтому, освещая ион светом с частотой $\omega + \delta \omega$ мы действуем на него в среднем не нулевой силой."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": null}, "text": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. Для нахождения изменения импульса иона возможен и энергетический анализ, но он предполагает более тонкое изучение картины явления: большая часть энергии $\hbar \omega$ идет на изменение энергии конкретного электрона, и малая часть $\hbar \omega$ на изменение кинетической энергии всего иона. Оценить соотношение между этими величинами можно с помощью закона сохранения импульса. На самом деле спектр поглощения иона обладает некоторой шириной, то есть он поглощает фотоны не только с частотой (в системе отсчета иона) в точности равной частоте перехода $\omega$. Характер спектра поглощения напрямую связан с вероятностью в единицу времени $\Gamma $ самопроизвольного перехода. Если частота фотона (в системе отсчета иона) равна $\omega + \Delta \omega$, то вероятность поглощения задается выражением: \[ P = \frac{\Gamma^2}{\Delta \omega^2 + \Gamma^2}.\] Обратите внимание, что это не вероятность в единицу времени, а просто вероятность поглощения при пролете фотона через эффективную площадь сечения иона $\sigma$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": null}, "text": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": null}, "text": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$."}, {"balls": {"number": "A9", "exponent": null}, "text": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? Охладив ион, мы можем приступать к изучению его взаимодействия с разными физическими объектами. При этом можно получать "изображение" иона. Как мы обсудили выше, ион взаимодействует со светом. При этом использовать свет охлаждающего лазера не удобно и обычно прибегают к другому методу. Добавим 3-ий уровень $3^2D_{3/2}$ в рассмотрение. Тогда ион из возбужденного состояния будет не только самопроизвольно релаксировать при переходах $4^2P_{1/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda = 397~\text{нм}$, но и самопроизвольно релаксировать путем $4^2P_{1/2} \to 3^2D_{3/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_1=866~\text{нм}$ и $3^2D_{3/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_2$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A10", "exponent": null}, "text": "Чему равно $\lambda_2$? Будем использовать флуоресцентный свет с длиной волны $\lambda_1$ для получения изображения иона. Для этого постав оптический фильтр непрозрачный для $\lambda$ и $\lambda_2$ и после него плоскую линзу диаметром $D$ и с фокусным расстоянием $f$ и за ней светочувствительную матрицу. Расстояние от плоскости линзы до иона равно $a$."}, {"balls": {"number": "A11", "exponent": null}, "text": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$."}]} | [{"condition": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. ", "solution": {"text": "Разность энергий равна энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$: \[\Delta E = \hbar \omega = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta E = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} = 3.12~\text{эВ}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A =1.46\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. ", "solution": {"text": "$$\sigma_p = m \sigma_{dx/dt} = m\omega \sigma_{dx/d\xi}/2 = m\omega \sigma_x/2A $$Поэтому\[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{\omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{ \omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона? ", "solution": {"text": "Энергия фотона в лабораторной СО равна $E_p=\hbar(\omega + \delta \omega)$, а проекция импульса на ось $x$ равна $p_{p x} = \hbar(\omega + \delta \omega) /c$. Запишем преобразования Лоренца, чтобы найти энергию фотона в СО иона $E_p'$:$$ E_p' = \gamma (E_p - \beta p_{px}c) =\gamma \hbar (\omega + \delta \omega_0)(1-\beta)= \hbar (\omega + \delta \omega_0) \sqrt{\cfrac{1-\beta}{1+\beta}}$$Здесь $\beta = v/c$. С другой стороны энергия фотона в СО иона совпадает совпадает с энергией перехода между энергетическими уровнями: $E_p' = \hbar \omega$. Отсюда находим точное решение для $\delta \omega_0$:$$ \delta \omega_0 = \omega \Bigg( \sqrt{\cfrac{1+\beta}{1-\beta}} - 1 \Bigg) $$Используя приближение $\beta = v/c \ll 1$ получаем:\[ \delta \omega_0 \approx \omega \frac{v}{c} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta \omega_0 = \omega \frac{v}{c} \]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? ", "solution": {"text": "$I = \hbar \omega \Phi$, поэтому $\Phi = \cfrac{I}{\hbar \omega}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \Phi = \frac{I}{\hbar \omega}\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим излучение фотона ионом в его собственной системе отсчета. Обозначим угол между импульсом испущенного фотона в СО иона и положительным направлением оси $x$ за $\theta$. Так как в этой СО все направления излучения равновероятны, вероятность того, что угол $\theta$ будет находиться в интервале $[\theta, \theta + d\theta]$ пропорциональна телесному углу и равна $dw = \cfrac{2\pi \sin \theta d \theta }{4 \pi} = \sin \theta d \theta/2$.Найдем проекцию импульса испущенного фотона на ось $x$ в лабораторной СО, используя преобразования Лоренца:\[ p_{2x} = \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \]Посчитаем среднее значение $p_{2x}$:\[ \overline p_{2x} = \int_0^\pi \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \cdot \cfrac{\sin \theta d \theta}{2} = \cfrac{\gamma \beta \hbar \omega}{c} \]Проекция изменения импульса иона на ось $x$ равна разности проекций импульсов поглощенного и испущенного ионов:\[ \delta p_x = \cfrac{\hbar (\omega + \delta \omega)}{c} - \overline p_{2x} = \cfrac{\hbar \omega}{c} \Big( 1+ \cfrac{\delta \omega}{\omega} - \cfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \Big) \]С учетом приближения $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$:\[ \delta p_x \approx \frac{\hbar \omega}{c}\]Усредненные проекции импульса испущенного фотона в лабораторной СО на оси $y$ и $z$ равны 0, поэтому $\delta p = \delta p_x$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta p = \frac{\hbar \omega}{c}\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$. ", "solution": {"text": "Для ответа сгодится оценка $\tau_1'=1/\Gamma$, однако можно найти и точное значение. Будем считать, ион перешел в возбужденное состояние в момент $t'=0$.Обозначим вероятность нахождения иона в возбужденном состоянии к момент $t'$ за $P_1(t')$. Мы, что знаем вероятность испускания фотона в промежутке $t'\in[t';t'+dt']$ (при условии, что фотон не был испущен ранее $t'$) равна $\Gamma dt'$, поэтому$$P_1(t'+dt') = P(t')(1-\Gamma dt')$$Отсюда получаем дифференциальное уравнение на $P_1$:$$ \cfrac{dP_1}{P_1} = - \Gamma dt' $$С учетом начального условия $P_1(0) = 1$, находим:$$ P_1(t') = \exp(-\Gamma t') $$Выразим $\tau_1'$:$$ \tau_1' = \int_0^{+\infty} t' \cdot \Gamma \exp(-\Gamma t') dt' = \cfrac{1}{\Gamma} $$ $$ \tau_1' = \cfrac{1}{\Gamma} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$. ", "solution": {"text": "Найдем среднее время между испусканием и поглощением фотона в СО иона $\tau_2'$ В системе отсчета иона $\Phi' = \gamma \Phi$, а энергия налетающего фотона равна $\gamma \hbar (\omega + \delta \omega)(1-\beta) = \hbar(\omega + \Delta \omega)$. Среднее время жизни невозбуженного состояния определяется как: $$\tau_2' = \cfrac{1}{P\Phi' \sigma} = \cfrac{( \gamma(1-\beta)(\omega + \delta \omega) -\omega)^2 + \Gamma^2}{\Gamma^2 \gamma \Phi \sigma}$$ Запишем выражение для среднего времени между испусканием и поглощением в лабораторной СО с учетом приближений $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$: $$ \tau_2 = \gamma \tau_2' \approx \cfrac{\Gamma^2 + (\delta \omega - \beta \omega)^2}{\Gamma^2 \Phi \sigma} $$ По условию $\Gamma \gg \Phi \sigma$, поэтому сила действующая на ион равна: $$ F_x \approx \cfrac{\delta p_x}{\tau_2} = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } $$ Теперь выделим переменную и постоянные составляющие силы: $$ F \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2}\]"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? ", "solution": {"text": "При охлаждении импульс иона должен уменьшаться, поэтому $\delta \omega < 0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta \omega < 0\]"]}, "number_part": "A9", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равно $\lambda_2$? ", "solution": {"text": "Запишем разницу энергий уровней $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$ двумя способами:$$ \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda} = \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_1} + \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_2} $$Откуда:\[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}=733~\text{нм}\]"]}, "number_part": "A10", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$. ", "solution": {"text": "Из формулы тонкой линзы получим $b$:$$ \cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} = \cfrac{1}{f}, $$$$b = \frac{af}{a-f} $$Размер пятная ограничен снизу дифракционным пределом:$$ s = \cfrac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1\: мкм$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b = \frac{af}{a-f}, \quad s=\frac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1~\text{мкм}\]"]}, "number_part": "A11", "exponent_part": "??"}] | ["T"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "a", "exponent": null}, "text": "Тонкий, прочный, но гибкий стальной канат установлен горизонтально над широкой улицей и сильно натянут. Акробат медленно движется по натянутому канату. Когда он достигает четверти пути (точка $Q$ на рисунке), ближайшая точка трисекции каната $T$ (точка, находящаяся на трети пути) сместилась на $5~см$ от своего изначального положения. На сколько будет смещена точка $Q$, когда акробат достигнет точки $T$? <img_0>"}, {"balls": {"number": "b", "exponent": null}, "text": "Можно ли обобщить полученный результат на произвольные точки $Q$ и $T$? Считать, что масса каната пренебрежимо мала, что его смещения всегда очень малы по сравнению с её длиной и что его натяжение можно считать постоянным."}]} | [{"condition": "Тонкий, прочный, но гибкий стальной канат установлен горизонтально над широкой улицей и сильно натянут. Акробат медленно движется по натянутому канату. Когда он достигает четверти пути (точка $Q$ на рисунке), ближайшая точка трисекции каната $T$ (точка, находящаяся на трети пути) сместилась на $5~см$ от своего изначального положения. На сколько будет смещена точка $Q$, когда акробат достигнет точки $T$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "a", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Можно ли обобщить полученный результат на произвольные точки $Q$ и $T$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для произвольных точек $Q$ и $T$ смещения будут равны."]}, "number_part": "b", "exponent_part": "??"}] | ["T", "★", "Механика", "Статика", "200 задач", "Канат"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкостенная диэлектрическая полусфера, заряженная отрицательным зарядом с поверхностной плотностью $-\sigma$, находится на горизонтальном столе. На ее вершину аккуратно кладут точечный шарик массой $m$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. Заряды между полусферой и шариком не перераспределяются. Ускорение свободного падения равно $g$."}]} | [{"condition": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. ", "solution": {"text": "Для изучения вопроса об устойчивости положения равновесия рассмотрим ситуацию, в которой шарик отклонился от верхнего положения на очень маленький угол $d\alpha$ и определим действующие на него силы.Первая сила является электростатической, но для изучения равновесия нам нужна только ее составляющая, направленная по касательной к поверхности полусферы. Идея ее вычисления основана на том, что в проекции на радиальное направление электростатические силы будут скомпенсированы от двух, симметричных относительно нового положения шарика, областей полусферы $I$ и $II$, так что не скомпенсированной останется сила со стороны дольки полусферы $AB$, отсекаемой наклонной плоскостью, проходящей под углом $2d\alpha$. На левом рисунке ниже показано соответствующее сечение в вертикальной плоскости. <img_1> Рассмотрим часть дольки сферы (смотрите правый рисунок выше, на котором показан вид сверху), дополнительно отсекаемой углами $\beta$ и $\beta+d\beta$, так что ее площадь составляет$$dS=2R\cos\beta Rd\beta d\alpha, \tag{1}$$а электрический заряд равен$$dq=-\sigma dS. \tag{2}$$В декартовой системе координат, начало которой совпадает с вершиной полусферы, а ось $z$ направлена вертикально вниз, радиус-вектор, направленный из точки нахождения частицы в выделенную часть дольки сферы, определяется координатами$$\vec{r}=(R\cos\beta,R\sin\beta,R), \tag{3}$$а значит вектор искомой силы равен$$\vec{F}=-\frac{Qdq}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\vec{r}. \tag{4}$$Эта сила имеет следующую проекцию на тангенциальное направление$$F_Q=\frac{Qdq}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt{2}R)^3}R\cos\beta. \tag{5}$$поэтому интегрирование по $\beta$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ дает полную по модулю силу от всей дольки в виде$$F_Q=\frac{Q\sigma}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0}d\alpha. \tag{6}$$Вторая сила, действующая на шарик, является силой тяжести, проекция которой на тангенциальное направление составляет $$F_g=mgd\alpha. \tag{7}$$Минимальный заряд шарика определяется равенством сил $$F_g=F_Q, \tag{8}$$которое приводит к окончательному ответу$$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. \tag{9}$$Очевидно, что при больших зарядах положение равновесия будет устойчивым."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, используемых человечеством, составляет $\Delta P=10^{13}~Вт$, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю — $P_0=10^{17}~Вт$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев (из экологических соображений) не должен превышать величины $\Delta T_{max}=0.1~К$? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретым телом, увеличивается в $16$ при повышении абсолютной температуры в $2$ раза."}]} | [{"condition": "К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии? ", "solution": {"text": "$16=2^4\Rightarrow $ можно заключить из условия, что $P\sim T^4$, т.е. $P=\alpha T^4$.При нормальной температуре поверхности Земли $T_0$ выполняется $P_0=\alpha T_0^4.$Если человечество дополнительно использует источники энергии мощностью $\Delta P$, то поверхность Земли уже получает энергию суммарной мощности $P_0+\Delta P.$$\alpha\left(T_0+\Delta T\right)^4=P_0+\Delta P$.$\Delta P>0$ приводит к перегреву земной поверхности на температуру $\Delta T$.$\Delta P \ll P_0 \Rightarrow \Delta T \ll T_0$ и $\left(T_0+\Delta T\right)^4 \simeq T_0^4+4 \Delta T \cdot T_0^3$.Имеем $\alpha\left(T_0^4+4 \Delta T T_0^3\right)=P_0+\Delta P .$Поэтому $$4\Delta T T_0^3 \cdot \alpha=\Delta P \\\Delta T=\frac{\Delta P}{4 T_0^3 \cdot \alpha}$$$\alpha$ получим из $P_0=\alpha T_0^4$; $\alpha=\frac{P_0}{T_0^4}.$Тогда $\Delta T=\frac{\Delta P T_0}{4 P_0}=7 \cdot 10^{-3}~К$где $T_0\approx285~К.$$$\Delta P_{\max }=\frac{4 P_0}{T_0} \Delta T_{\max } \approx 1.4 \cdot 10^{14}~Вт.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta T=7 \cdot 10^{-3}~К$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев (из экологических соображений) не должен превышать величины $\Delta T_{max}=0.1~К$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta P_{\max }\approx 1.4 \cdot 10^{14}~Вт.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Термодинамика", "Излучение", "Всероссийские", "Мощность", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "Одно колено высокой симметричной $U$-образной трубки, имеющей площадь поперечного сечения $S$, открыто в атмосферу, а второе - наглухо закрыто. Трубка заполнена жидкостью плотностью $\rho$, причём в открытом колене уровень жидкости доходит до краёв, а в закрытом - на $h$ ниже из-за оставшегося под крышкой воздуха (см. рисунок). Трубку нагревают от начальной комнатной температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ кипения жидкости при атмосферном давлении $P_{0}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. Испарением жидкости из открытого колена в процессе нагревания и давлением насыщенных паров жидкости при комнатной температуре можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. ", "solution": {"text": "Пусть $H$ - разность уровней жидкости в коленах в момент закипания (см. рисунок), тогда давления газа в закрытом колене в начальном и конечном состояниях имеют соответственно вид: $$ P_{1}=P_{0}+\rho g h, \quad P_{2}=P_{0}+\rho g H . $$ <img_1> С другой стороны, давление газа в закрытом колене равно сумме парциальных давлений $P_{v}$ воздуха и $P_{n}$ насыщенных паров жидкости: $$ P_{1}=P_{v 1}+P_{n 1} \approx P_{v 1}, \quad P_{2}=P_{v 2}+P_{n 2}=P_{v 2}+ P_{0}. $$ Каждое из парциальных давлений растёт с ростом температуры, что и приводит к выталкиванию жидкости из открытого колена. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для воздуха в закрытом колене $$ \frac{P_{v 1} \cdot S h}{T_{1}}=\frac{P_{v 2} \cdot S H}{T_{2}}, $$ находим $$ P_{v 2}=\frac{h T_{2}}{H T_{1}} P_{v 1} \approx \frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right). $$ Приравнивая $P_{2}$ из первых двух равенств и подставляя $P_{v 2}$ из последнего, получим $$ P_{0}+\rho g H=\frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right)+P_{0}, $$ откуда $$ H=h \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)} . $$ Объём вытесненной жидкости $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Сообщающиеся сосуды", "Всероссийские", "Гидростатика", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "Паровая машина состоит из вертикального цилиндрического сосуда, в котором может двигаться без трения поршень. В сосуде находится вода, внутри которой расположен электрический нагреватель. Цикл паровой машины состоит из $4$ этапов, показанных на рисунке:$1.$ На поршне находится груз, включают нагреватель, вода кипит, пар поднимает поршень с грузом.$2.$ После того, как поршень поднялся на некоторую высоту, груз быстро снимают и выключают нагреватель.$3.$ Пар под поршнем остывает и конденсируется, поршень медленно опускается.$4.$ После того как поршень опустился на определенную высоту, на него снова кладут груз. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Постройте на диаграмме $(P, V)$ схематически цикл данной машины и найдите ее КПД. Атмосферное давление $P_0=1.0\cdot 10^5~Па$, масса поршня $M=2.0~кг$, его площадь $S=10~см^2$, масса груза $m=1.0~кг$. Ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^2$. Считайте, что под поршнем находится только водяной пар. Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры в рассматриваемом диапазоне описывается функцией $P=at−b$, где $a=4.85~кПа/К$, $b=384~кПа$, $t$ — температура в градусах Цельсия."}]} | [{"condition": "Постройте на диаграмме $(P, V)$ схематически цикл данной машины и найдите ее КПД. ", "solution": {"text": "Кипение на первом этапе происходит при постоянном давлении, следовательно, при постоянной температуре. Аналогично, на третьем этапе конденсация происходит при постоянных давлении и температуре. Второй и четвертый этапы можно считать адиабатическими. Цикл паровой машины показан на рисунке. <img_1> Так как этот цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат, то этот цикл является циклом Карно. Поэтому его КПД рассчитывается по формуле$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \tag{1}$$где $T_1$ — температура кипения на первом этапе, $T_2$ — температура конденсации на третьем этапе цикла.Температуры могут быть найдены из приведенной в условии зависимости давления насыщенного пара от температуры.Первый этап цикла происходит при постоянном давлении $$P_1=P_0+\frac{(M+m)g}{S}\approx 1.3\cdot 10^5~Па. \tag{2}$$Температура пара есть температура кипения и равна$$t_1=\frac{P_1+b}{a}=\frac{130+384}{4.85}\approx 106^{\circ}\mathrm{C}=379~К. \tag{3}$$Разность температур в формуле $(1)$ удобно вычислить по формуле$$T_1-T_2=\frac{P_1-P_2}{a}=\frac{mg}{Sa}=\frac{20}{4.85}\approx 4.2~К. \tag{4}$$Таким образом, КПД машины равен $\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=\frac{4.2}{379}=1.1\%$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=1.1\%.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Электрический нагреватель воды состоит из двух коаксиальных хорошо проводящих цилиндров длиной $L$. Радиус внутреннего цилиндра равен $r$, расстояние между цилиндрами значительно меньше радиусов цилиндров и равно $h$. Цилиндры подключены к источнику постоянного напряжения $U_{0}$. Между цилиндрами медленно протекает вода, которая нагревается благодаря протекающему через нее электрическому току. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1B", "exponent": "3,00"}, "text": "Рассчитайте, с какой скоростью должна течь вода, чтобы ее температура повысилась на $\Delta t$ градусов. Характеристики воды: плотность $\gamma$, удельное электрическое сопротивление $\rho$, удельная теплоемкость $c$. Теплоемкостями цилиндров и потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Рассчитайте, с какой скоростью должна течь вода, чтобы ее температура повысилась на $\Delta t$ градусов. ", "solution": {"text": "Выделим тонкий слой воды толщиной $z$, перпендикулярный оси системы. Этот слой воды пройдет через нагреватель за время $\tau-\frac{L}{v}$, где $v$ — искомая скорость течения. Вода будет нагреваться за счет теплоты, выделяющейся при прохождении электрического тока. Это количество теплоты определяется по закону Джоуля–Ленца$$Q=\frac{U^{2}}{R}\tau. \ (1)$$Здесь $R$ — электрическое сопротивление выделенного слоя воды. Учитывая, что электрический ток протекает перпендикулярно поверхностям цилиндров, это сопротивление равно$$R=\rho\frac{h}{2\pi rz}. \ (2)$$ <img_1> Вся выделяющая в слое теплота идет на ее нагревание, поэтому может быть определена по формуле $Q=cm\Delta t$. Масса выделенного слоя равна $m=V \gamma =2\pi rzh\gamma$. Уравнение теплового баланса имеет вид $$\frac{U^{2}}{\rho\frac{h}{2\pi rz}}\frac{L}{v}=c\cdot 2\pi rzh\gamma\cdot \Delta t. \ (3)$$Из этого уравнения находим$$v=\frac{U^{2} L}{\rho h^{2}c\gamma \Delta t}. \ (4)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\frac{U^{2} L}{\rho h^{2}c\gamma \Delta t}. $$"]}, "number_part": "1B", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Изображённая на рисунке схема состоит из конденсатора ёмкостью $C=100~мкФ$, идеального диода, источника постоянного напряжения $U=10.0~В$, трёх одинаковых резисторов сопротивлением $R=10.0~кОм$ и ключа. В начальный момент конденсатор не заряжен, ключ разомкнут. После замыкания ключа ток через диод идёт в течение времени $\tau=462~мс$, а затем прекращается. <img_0>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите ток через диод сразу после замыкания ключа."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "3,40"}, "text": "Найдите полный заряд, протекший через диод."}]} | [{"condition": "Найдите ток через диод сразу после замыкания ключа. ", "solution": {"text": "<img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I_0=\frac{U}{R}=1~мА.$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите полный заряд, протекший через диод. ", "solution": {"text": "В момент, когда ток через диод станет нулевым, токи через первый и второй резисторы будут одинаковы, поэтому будут одинаковы и напряжения на них: $U_1=U_2=U/2$. Такое же напряжение будет на конденсаторе и его заряд в этот момент: $$Q = \frac{CU}{2}. \tag{2}$$Правила Кирхгофа дают:$$q_1 = q + q_2, \tag{3}$$$$q_3 + q = Q. \tag{4}$$$$I_1R = I_3R,$$ и, следовательно,$$q_1 = q_3, \tag{5}$$$$U = I_1R + I_2R. \tag{6}$$Интегрируя последнее уравнение по времени от $0$ до $\tau$, получим:$$U\tau = q_1R + q_2R. \tag{7}$$Решая систему уравнений $(2)-(6)$, получаем ответ:$$q=\frac{1}{3}CU\left(1-\frac{\tau}{RC}\right)= 179~мкКл. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=\frac{1}{3}CU\left(1-\frac{\tau}{RC}\right)= 179~мкКл.$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "3,40"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Тело представляет собой куб, в котором вырезана сферическая полость радиуса $R$. Внутри сферической полости в нижней точке покоится шайба, геометрическими размерами которой можно пренебречь. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,50"}, "text": "Найдите минимальную горизонтальную скорость (при всех возможных отношениях масс куба и шайбы), которую необходимо сообщить шайбе, чтобы в процессе движения куб оторвался от поверхности стола. Трение в системе полностью отсутствует. При каком отношении масс куба и шайбы $M/m$ достигается минимальное значение скорости шайбы?"}]} | [{"condition": "Найдите минимальную горизонтальную скорость (при всех возможных отношениях масс куба и шайбы), которую необходимо сообщить шайбе, чтобы в процессе движения куб оторвался от поверхности стола. Трение в системе полностью отсутствует. При каком отношении масс куба и шайбы $M/m$ достигается минимальное значение скорости шайбы? ", "solution": {"text": "<img_1> В мгновенной системе отсчета, связанной с кубом, шайба движется со скоростью $w$ по окружности радиуса $R$ и уравнение ее движения в проекции на радиальное направление имеет вид$$N+mg=\frac{mw^2}{R}. \tag{3}$$Очевидно, что условие отрыва куба от плоскости стола в соответствие с третьим законом Ньютона имеет вид$$N=Mg. \tag{4}$$Решая совместно систему уравнений $(1)-(4)$, находим скорость шайбы $$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. \tag{5}$$Из выражения $(5)$ путем дифференцирования по $M/m$ следует, что минимальная горизонтальная скорость достигается при$$M/m=2$$и равна$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. \tag{7}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. $$Минимальная горизонтальная скорость достигается при $M/m=2$ и равна$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,50"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В цилиндрическом сосуде объёма $2 V_{0}$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0} / 2$, занимающий объём $V_{0}$ (см. рисунок). <img_0> Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $P_{0}$ и температуре $T_{0}$. Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, После того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите температуру газа после закрытия крана."}]} | [{"condition": "Определите температуру газа после закрытия крана. ", "solution": {"text": "Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (см. рисунок). <img_1> Внешнее давление при «продавливании» внутрь этого объёма совершает работу $A_{внеш}=P_{0} V$. Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде $+$ «внешний» газ объёма $V+$ поршень выглядит так: $$ U_{1}+U_{2}+A_{внеш}=U+\Delta E_{п}, \quad (1) $$ где $U_{1}$ — внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U_{2}$ — энергия «внешнего» газа из объёма $V$, $U$ — энергия газа в сосуде после заполнения, $E_{п}$ — изменение потенциальной энергии поршня. $$ \begin{gathered} U_{1}=\frac{3}{2} \frac{P_{0}}{2} V_{0} ; \quad U_{2}=\frac{3}{2} P_{0} V ; \quad U=\frac{3}{2} P_{0} 2 V_{0}, \quad (2) \\ \Delta E_{п}=m g \Delta h=\frac{P_{0}}{2} S \Delta h=\frac{P_{0}}{2} V_{0}. \quad (3) \end{gathered} $$ Подставляя $(2)$ и $(3)$ в уравнение $(1)$, после преобразований получим: $$ \begin{gathered} \frac{5}{2} P_{0} V=\frac{11}{4} P_{0} V_{0}, \quad (4) \\ V=\frac{11}{10} V_{0}. \quad (5) \end{gathered} $$ Исходное число молей газа в сосуде $$ \nu_{1}=\frac{P_{0} V_{0}}{2 R T_{0}}, $$ число молей «внешнего» газа в сосуде $$ \nu_{2}=\frac{11}{10} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Полное число молей $$ \nu=\nu_{1}+\nu_{2}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Из уравнения состояния: $$ \frac{P_{0} \cdot 2 V_{0}}{R T}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}, \quad (6) $$ откуда получаем ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "Неравновесный процесс"] |
|
{"text": [{"text": "На рисунке показана схема моста переменного тока. <img_0> Сопротивление $R_{1} = 2.5~кОм$, индуктивность $L =1~Гн$, сопротивление катушки индуктивности $r_{L} =1~Ом$. На частоте переменного синусоидального напряжения $\nu=100~Гц$ баланс моста наступает при $R_{2} =800~Ом$. Оказалось, что при увеличении частоты переменного тока в два раза баланс моста не нарушается."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$."}]} | [{"condition": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$. ", "solution": {"text": "Эквивалентная схема моста показана на рисунке ниже, на котором учтено, что эквивалентная схема неидеальной индуктивности — это последовательно соединенные идеальная катушка $L$ и резистор $r_{L}$; эквивалентная схема конденсатора с утечкой — это резистор $r_{C}$ параллельно подсоединённый к идеальному конденсатору $C$. <img_1> Решение 1. Условие баланса моста в комплексных числах записывается в виде $$Z_{L}Z_{C}=R_{1}R_{2},$$ где импедансы равны соответственно $$Z_{L}=r_{L}+i\omega L$$ и $$Z_{C}=\frac{r_{C}}{1+i\omega Cr_{C}}$$ После преобразований из выражений выше получаем: $$i\omega(L-R_{1}R_{2}C)=r_{L}-\frac{R_{1}R_{2}}{r_{C}}.$$ При изменении частоты это равенство не нарушается, если обе части уравнения равны нулю, поэтому $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$ Решение 2. Пусть напряжение на конденсаторе равно $$U_{C}=U_{0}\cos\omega t,$$ тогда через него протекает ток $$I_{C}=-CU_{0}\omega\sin\omega t,$$ а ток через его сопротивление утечки составляет $$I_{r_{C}}=\frac{U_{0}\cos\omega t}{r_{C}}.$$ Полный ток через плечо, содержащее конденсатор, равен $$I_{1}=I_{C}+I_{r_{C}},$$ а так как мост сбалансирован, то такой же ток идёт через сопротивление $R_1$, поэтому $$U_{R_{1}}=I_{1}R_{1}.$$ С другой стороны, это напряжение равно падению напряжения на плече с индуктивностью $$U_{L}=U_{R_{1}},$$ для которой падение напряжения определяется выражением $$U_{L}=L\frac{dI_{2}}{dt}+I_{2}r_{L},$$ в котором ток определяется уравнением баланса $$I_{2}=I_{R_{2}}=\frac{U_{C}}{R_{2}},$$ так как $$U_{R_{2}}=U_{C}.$$ Собирая совместно уравнения выше, получаем $$\left(-\frac{\omega L}{R_{2}}+C\omega R_{1}\right)U_{0}\sin \omega t=\left(\frac{R_{1}}{r_{C}}-\frac{r_{L}}{R_{2}}\right)U_{0}\cos\omega t.$$ Из этого равенства видно, что условие баланса, независящего от частоты, выполняется, если обе части уравнения равны нулю, то есть получаем ответ $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Теоретик Баг решил попить чайку. Он взял теплоизолированный чайник, снабжённый миниатюрным термометром, и включил его в электрическую сеть. Термометр показывал температуру $t_0 = 20^\circ С$. Через время $\tau_1 = 1~мин$, когда вода нагрелась до $t_1 = 40^\circ С$, он стал доливать в чайник воду. В момент $\tau_2 = 3.5~мин$, когда температура воды достигла $t_2 = 50^\circ С$, Баг остановился. Ещё через $5~мин$ вода закипела. На рисунке приведён график изменения температуры воды в чайнике в ходе её нагрева и «дозаправки». <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой была температура $t_x$, доливаемой воды? Считайте, что вода быстро перемешивается, а термометр показывает текущее значение её температуры."}]} | [{"condition": "Какой была температура $t_x$, доливаемой воды? ", "solution": {"text": "Определим количество долитой воды. Условие того, что постоянная подводимая мощность идёт на нагрев: $P \Delta \tau=cm \Delta t$, где $\Delta \tau$ — изменение температуры воды. Следовательно, из наклона графика можно найти отношение массы воды до и после доливания: $$ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{(\Delta \tau / \Delta t)_{до}}{(\Delta \tau / \Delta t)_{после}} = \frac{1~мин /20^\circ С}{5~мин/50^\circ С}=\frac{1}{2}. $$ Таким образом, масса долитой воды равна исходной массе воды. Запишем уравнение теплового баланса для нагревания: $$ cm_{1} (t_{1}-t_{0})=P \tau_{1}, \quad cm_{1} (t_{2}-t_{1})+c(m_{2}-m_{1}) (t_{2}-t{х})=P(\tau_{2}-\tau_{1}). $$ Поделив уравнения одно на другое, получим: $$ \frac{m_{2}t_{2}-m_{1}t_{1}}{m_{1}(t_{1}-t_{0})} - \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{t_{х}}{t_{1}-t_{0}}= \frac{\tau_{2}- \tau_{1}}{\tau_{1}}, \quad \text {откуда} \quad t_{х}=10^\circ С. $$ Возможно графическое решение. Продолжим до пересечения с осью $t$ прямую, описывающую зависимость температуры воды массой $m_{2}$ от времени. Точка пересечения будет соответствовать температуре $t_{с}=15^\circ С$, которую приняла бы вода после смешивания, если бы нагреватель не работал. Начальная температура воды была $t=20^\circ С$. Тогда из уравнения теплового баланса найдём, что температура доливаемой воды равна $t_{х}=10^\circ С$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{х}=10^\circ С. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Всероссийские", "Теплота", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "Один конец однородного твердого стержня массой $m$ и длиной $l$ подвешен к вертикальной опоре с помощью идеального шарнира, а второй подвешен на нити, так что стержень находится в горизонтальном положении. В некоторый момент времени нить перерезают. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найти силу реакции опоры в шарнире в зависимости от угла отклонения стержня от горизонтального положения"}]} | [{"condition": "Найти силу реакции опоры в шарнире в зависимости от угла отклонения стержня от горизонтального положения ", "solution": {"text": "Потенциальная энергия стержня $U=mgl/2\sin\alpha$ переходит в кинетическую энергию вращения стержня $E=J\omega^{2}/2$, где $J=ml^{2}/3$ — момент инерции относительно вертикального подвеса, $\omega$ — угловая скорость вращения. Приравнивая эти энергии, находим мгновенную угловую скорость вращения центра масс относительно оси подвеса, и с помощью полученного выражения находим нормальное (центростремительное) ускорение центра масс$$a_{n}=\omega^{2}\left(\frac{l}{2} \right)=\frac{3}{2}g\sin\alpha.$$Тангенциальное ускорение находим из уравнения динамики $M=\beta J$, где $M=mgl/2\cos\alpha$ — момент силы тяжести относительно оси вращения, $\beta$ — угловое ускорение движения центра масс, связанное с тангенциальным ускорением $a_{t}=\beta l/2$:$$a_{t}=\frac{3}{4}g\cos\alpha.$$Ускорение центра масс $a$ определяется уравнением$$P+N=ma,$$где $Р$ — сила тяжести, $N$ — сила реакции опоры. Разлагая это уравнение на вертикальную и горизонтальную компоненты, с учетом$$a_{n \parallel}=-a_{n}\cos\alpha, a_{n \perp}=a_{n}\sin\alpha, \\a_{t \parallel}=-a_{t}\cos\alpha, a_{t \perp}=a_{t}\sin\alpha.$$Находим $$N_{\parallel}=mg \left(\frac{3}{4}\cos^{2}\alpha-\frac{3}{2}\sin^{2}\alpha-1\right), \\N_{\perp}=\frac{9}{4}mg\cos\alpha\sin\alpha.$$ <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N_{\parallel}=mg \left(\frac{3}{4}\cos^{2}\alpha-\frac{3}{2}\sin^{2}\alpha-1\right), \\N_{\perp}=\frac{9}{4}mg\cos\alpha\sin\alpha.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Маленький источник звука, расположенный в точке $A$, и маленький микрофон, расположенный в точке $B$, находятся на расстоянии $L=1~м$ друг от друга. В некоторый момент времени начинает дуть ветер (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз изменится мощность звука, поглощаемая микрофоном, если известно, что скорость ветра $v=15~м/с$, a скорость звука $c=340~м/с$? Ветер не вызывает завихрения воздуха."}]} | [{"condition": "Во сколько раз изменится мощность звука, поглощаемая микрофоном, если известно, что скорость ветра $v=15~м/с$, a скорость звука $c=340~м/с$? ", "solution": {"text": "В отсутствие ветра звуковая энергия, излучаемая точечным источником звука (см. рисунок), распространяется во все стороны одинаково, т. е. изотропно. <img_1> Поток энергии в единицу времени сквозь поверхность единичной площади на сфере радиуса $L$ с центром в точке $A$ равен мощности источника звука, деленной на $4 \pi L^{2}$. Когда дует ветер, звук «сносится» в сторону, противоположную направлению от источника на микрофон. В этом случае удобно перейти в систему отсчета, связанную с движущимся потоком воздуха. Поскольку по условию задачи ветер не вносит завихрений, то в этой системе отсчета распространение звука из точки $A$ также изотропно и поток энергии в единицу времени сквозь единичную площадку на сфере радиуса $l$ также обратно пропорционален $l^{2}$. Расстояния в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью $v$, и неподвижной системе отсчета, связаны соотношением$$l=L \frac{c}{c-v}.$$Относительное изменение мощности звуковой энергии, поглощаемой микрофоном, равно$$\left(\frac{L}{l}\right)^{2}=\left(\frac{c-v}{c}\right)^{2} \simeq 0.9.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \left(\frac{L}{l}\right)^{2}=\left(\frac{c-v}{c}\right)^{2} \simeq 0.9. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Излучение", "Всероссийские", "Интенсивность", "Эффект Допплера"] |
|
{"text": [{"text": "Шар радиуса $R$ покоится на краю горизонтального стола высотой $H=3R$. Шар начинает падать без значительного начального толчка, причем за все время движения проскальзывание с краем отсутствует. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите, на каком расстоянии $l$ от основания стола шар первый раз коснется пола. Ускорение свободного падения равно $g$, сопротивлением воздуха пренебречь. Известно, что кинетическая энергия шара, катящегося без проскальзывания равна $E=\frac{7}{10}mv^2$, где $v$ — скорость центра шара, $m$ — его масса."}]} | [{"condition": "Найдите, на каком расстоянии $l$ от основания стола шар первый раз коснется пола. ", "solution": {"text": "В начальный момент времени шар будет вращаться как целое вокруг точки его касания. Пусть шар поворачивается на некоторый угол $\alpha$, тогда изменение потенциальной энергии центра масс шара составит$$E_p=mgR(1-\cos\alpha), \tag{1}$$и она превращается в кинетическую энергию$$E_k=\frac{7}{10}mu^2, \tag{2}$$где $u$ — скорость центра масс шара.По закону сохранения энергии получаем$$E_p=E_k. \tag{3}$$При дальнейшем движении происходит отрыв шара от стола. Уравнение движения центра масс шара (второй закон Ньютона) в проекции на радиальное направление имеет вид$$m\frac{u^2}{R}=mg\cos\alpha-N, \tag{4}$$где $N$ — нормальная сила реакции стола, а сила трения не изображена на рисунке ниже. <img_1> Условие отрыва шара от стола имеет вид$$N=0. \tag{5}$$Решая совместно $(1)$-$(5)$, находим угол отрыва и скорость шара в этот момент$$\cos\alpha=\frac{10}{17}, \tag{6}$$$$u=\sqrt{\frac{10}{17}gR}. \tag{7}$$Дальнейшее движение шара есть свободное падение его центра масс в поле тяжести Земли. Начальные горизонтальная и вертикальная скорости равны$$v_x=u\cos\alpha, \tag{8}$$$$v_y=u\sin\alpha. \tag{9}$$Дальность полета определяется формулами равноускоренного движения в поле тяжести земли$$l=R\sin\alpha+v_x t, \tag{10}$$$$H-R(1-\cos\alpha)=v_y t+\frac{gt^2}{2}, \tag{11}$$где $t$ — время полета. Исключая время $t$ из уравнений $(10)$ и $(11)$, находим$$l=\frac{567\sqrt{21}+20\sqrt{68305}}{4913}R\approx 1.6R. \tag{12}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$l\approx 1.6R. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Один конец жёсткого невесомого стержня шарнирно закреплён, к другому концу на перекинутой через невесомый блок нити подвешен груз массой $m$. Ещё два груза массами $20m$ и $12m$ подвешены на нитях к стержню в точках, делящих его на три равные части (см. рис.). <img_0> Все нити невесомы и нерастяжимы. Стержень удерживают неподвижно в горизонтальном положении, а затем отпускают."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите ускорения грузов сразу после отпускания стержня."}]} | [{"condition": "Найдите ускорения грузов сразу после отпускания стержня. ", "solution": {"text": "<img_1> Однако, найденное значение ускорения второго груза $a=\frac{82}{77}g$ получается больше ускорения свободного падения. Это означает, что нить второго груза не будет натянутой, а его ускорение равно $g$. Также можно показать, что формально из системы уравнений $(1)$ следует, что $T_2 < 0$, чего для нити быть не может. Следовательно, нить, к которой подвешен второй груз, на стержень не действует. Поэтому система уравнений $(1)$ неверно описывает рассматриваемое устройство. Для расчета ускорений стержня и остальных грузов второй груз следует исключить. Правильные значения ускорений первого и третьего грузов находятся из следующей системы уравнений$$\begin{equation*} \begin{cases} 20ma=20mg-T_1\\ m\cdot 3a=T_3-mg \quad . \\ T_1l=T_3\cdot 3l \tag{3} \end{cases}\end{equation*}$$Окончательно получаем$$a=\frac{17}{29}g.$$ $$\\ a_1=\frac{17}{29}g, \quad a_2=g, \quad a_3=\frac{51}{29}g. \tag{4}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\\ a_1=\frac{17}{29}g, \quad a_2=g, \quad a_3=\frac{51}{29}g.$$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкая линза дает изображение предмета, расположенного перпендикулярно ее оптической оси. Размер изображения $1~см$. Если расстояние от предмета до линзы увеличить на $5~см$, то опять получится изображение размером $1~см$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Каким будет размер изображения, если расстояние от предмета до линзы увеличить ещё на $5~см$?"}]} | [{"condition": "Каким будет размер изображения, если расстояние от предмета до линзы увеличить ещё на $5~см$? ", "solution": {"text": "Луч, проходящий через фокус линзы, после преломления идёт параллельно оптической оси. Поэтому все изображённые на рисунке предметы дадут изображение одинакового размера, т.е. увеличение обратно пропорционально расстоянию от предмета до фокуса. <img_0> Из рис. 2 видно, что в случае рассеивающей линзы невозможно получить одинаковый размер изображения при разных положениях предмета, поэтому линза обязательно собирающая. <img_1> Положения $A$ и $B$ предмета, дающие изображения одинакового размера, расположены симметрично относительно фокуса линзы (см. рис. 3). Если предмет отодвинуть ещё на $5~см$, то он окажется в положении $C$, в котором изображение того же размера дал бы втрое больший предмет, поэтому тот же предмет даст втрое меньшее изображение. <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$1/3~см.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В коробке («чёрном ящике») с четырьмя выводами находятся четыре одинаковых резистора. С помощью омметра измеряется сопротивление между выводами $1$ и $2$ (см. рис.). При этих измерениях поочередно соединялись накоротко выводы $1-3$, $2-3$ и $2-4$. Результаты измерений следующие: $R_{13} = 3~ Ом$, $R_{23} = 3~ Ом$, $R_{24} = 4~ Ом$, $R_{00} = 4~ Ом$. Индексы указывают, какие выводы «чёрного ящика» были закорочены при данном измерении. Индекс «$00$» означает, что никакие два вывода не соединялись накоротко. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Расшифруйте по этим данным схему «чёрного ящика» и определите сопротивление $R$ резисторов, а также $R_{14}$ и $R_{34}$."}]} | [{"condition": "Расшифруйте по этим данным схему «чёрного ящика» и определите сопротивление $R$ резисторов, а также $R_{14}$ и $R_{34}$. ", "solution": {"text": "<img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Возможно две схемы черного ящика. Для первого из них см. рис. 1: $R=6~Ом, R_{14}=2.4~Ом, R_{34}=3.6~Ом$ , а для второй (рис. 2): $R=2~Ом$, $R_{14}=\frac{4}{3}~Ом \approx 1.3 ~Ом, R_{34}=\frac{10}{3}~Ом \approx 3.3~Ом.$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Всероссийские", "Электрические цепи", "Черный ящик"] |
|
{"text": [{"text": "В вакууме на расстоянии $L=10~см$ друг от друга находятся протон $p^{+}$ и антипротон $p^{-}$. Обе частицы имеют одинаковые массы $m=1.67 \cdot 10^{-27}~кг$ и одинаковые по модулю заряды $e=1.602 \cdot 10^{-19}~Кл$. В первый момент частицы неподвижны. При сближении частиц на расстояние $l=10^{-13}~м$ происходит их аннигиляция с рождением $\gamma$-квантов."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Через какое время произойдет аннигиляция частиц?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом. Электрическая постоянная $\varepsilon_{0}=0,885 \cdot 10^{-11} \mathrm{Kл}^{2} /\left(\mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2}\right) .$ Гравитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{кг}^{2} .$"}]} | [{"condition": "Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении? ", "solution": {"text": "Задачу удобно решать, совместив начало координат с центром масс системы (точка О, см. рисунок). <img_0> Сила притяжения протона и антипротона, находящихся на одинаковых расстояниях от точки $O$, paвна $$ F=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 r)^{2}}. $$ Таким образом, сила, действующая на каждую частицу, пропорциональна $1 / r^{2}$, где $r$ - расстояние от неподвижной точки $O$. Следовательно, потенциальная энергия $E_{p}$ каждой частицы выражается формулой $$ E_{p}=\frac{-e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} r}. $$ Знак (-) означает, что частицы притягиваются к точке $O$. Запишем теперь закон сохранения энергии для каждой частицы: $$ -\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(L / 2)}=-\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(x / 2)}+\frac{m v^{2}}{2}. $$ Принимая во внимание, что $L \gg x$, получим $$ v=\sqrt{\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x m}}=1.17 \cdot 10^{6} м/с \ll c, $$ где $c$ - скорость света."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\sqrt{\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x m}}=1.17 \cdot 10^{6} м/с $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через какое время произойдет аннигиляция частиц? ", "solution": {"text": "Траектории частиц можно рассматривать как вырожденные эллипсы с большой полуосью $L / 4$. Время $t$, через которое произойдет столкновение протона и антипротона и их аннигиляция, равно половине периода обращения по такому эллипсу. По третьему закону Кеплера период обращения частицы по эллипсу равен периоду обращения по круговой орбите радиуса $L / 4$. Условие вращения по окружности радиуса $L / 4$ вокруг точки $O$ запишется в виде $$ \begin{gathered} \frac{m v_{0}^{2}}{L / 4}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 \cdot L / 4)^{2}}, \\ T^{2}=\left(\frac{2 \pi L / 4}{v_{0}}\right)^{2}=\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}, \\ t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}} \approx 67 мс. \end{gathered} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}} \approx 67 мс $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом. ", "solution": {"text": "Отношение $F_{гр} / F_{эл}$ гравитационной и электрической силы, действующих между частицами, равно $$ \frac{F_{\text {гр }}}{F_{\text {эл }}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} G m^{2}}{e^{2}} \approx 10^{-36} \ll 1. $$ Таким образом, гравитационные силы принимать в расчёт не следует."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Гравитационные силы принимать в расчёт не следует, поскольку $$ \frac{F_{гр}}{F_{эл}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} G m^{2}}{e^{2}} \approx 10^{-36} \ll 1 $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Гравитация", "Всероссийские", "Аннигиляция", "Движение по орбите", "Потенциальная энергия"] |
|
{"text": [{"text": "<img_0> Как показано на рисунке, под поршнем в вертикальном теплоизолированном цилиндре массой $M$ и площадью внутреннего сечения $A$ находится некоторое количество идеального газа при температуре $T_0$. Поршень не проводит тепло, а его массой и трением о стенки цилиндра можно пренебречь. Атмосферное давление равно $P_0$, а ускорение свободного падения – $g$. Поршень начинают медленно поднимать, и в тот момент, когда поршень достигает верха цилиндра, последний отрывается от земли. Показатель адиабаты газа равен $\gamma$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите температуру газа $T$, когда поршень достигнет верха цилиндра."}]} | [{"condition": "Найдите температуру газа $T$, когда поршень достигнет верха цилиндра. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=T_0\left(1-\frac{Mg}{p_0A}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Термодинамика", "Китайские", "Уравнение состояния идеального газа"] |
|
{"text": [{"text": "Прямоугольный аквариум длины $L=50~см$ разделен перегородкой на два отсека $1$ и $2$. В центре перегородки находится симметричная двояковыпуклая линза. На задней стенке аквариума, в центре, нарисована стрелка (см. рисунок). <img_0> Длина стрелки равна $h$. Если в отсек $1$ аквариума налить жидкость, то на передней стенке отсека $2$ появится четкое изображение стрелки. Длина изображения стрелки $h_{1}=4.5~мм$. Если ту же жидкость налить во второй отсек аквариума, вылив ее из первого, то на той же стенке отсека $2$ вновь будет видно четкое изображение стрелки. Длина $h_{2}=2~мм$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите длину стрелки $h$, показатель преломления $n$ жидкости и расстояние между линзой и стенками аквариума."}]} | [{"condition": "Найдите длину стрелки $h$, показатель преломления $n$ жидкости и расстояние между линзой и стенками аквариума. ", "solution": {"text": "На рисунках $a$, $б$ показан ход луча, вышедшего из вершины стрелки в направлении оптического центра линзы. <img_1> Для каждого из двух случаев имеем: $a)$ $n \alpha=\alpha_{1}$, $\alpha=h / a$, $\alpha_{1}=h_{1} / b$, $$ \begin{gathered} n \frac{h}{a}=\frac{h_{1}}{b}; &\quad (1) \end{gathered} $$ $б)$ $\alpha=n \alpha_{2}$, $\alpha_{2}=h_{2} / b$, $$ \begin{gathered} \frac{h}{a}=n \frac{h_{2}}{b}. &\quad (2) \end{gathered} $$ Разделив $(1)$ на $(2)$, получим для показателя преломления $$ \begin{gathered} n=\sqrt{\frac{h_{1}}{h_{2}}}. &\quad (3) \end{gathered} $$ Из $(1)$ и $(3)$ получим: $h=(a / b) \sqrt{h_{1} h_{2}}$. $\quad (4)$ Найдем $a$. Формула тонкой линзы имеет вид $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F_{0}}$ (см. рисунок ниже). <img_2> Для малых углов из нее следует соотношение $\varphi_{1}+\varphi_{2}=\varphi_{0}$, где $\varphi_{0}$ — угол, под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом $F$ и положим $\frac{r}{F}=\varphi$ (здесь $r$ — радиус линзы). Тогда, если жидкость в правом отсеке, то $\varphi_{1} n+\varphi_{2}=\varphi$, а если в левом, то $\varphi_{1}+n \varphi_{2}=\varphi$. Взяв разность двух последних уравнений, получим $$ \varphi_{1}(n-1)=\varphi_{2}(n-1). $$ Поскольку $n \neq 1$, то, сокращая последнее равенство на $(n-1)$, получим $\varphi_{1}=\varphi_{2}$ и, следовательно, $a=b=L / 2$. Тогда формула $(4)$ принимает вид: $$ h=\sqrt{h_{1} h_{2}}. $$ Подставляя в полученные выше выражения числовые значения входящих в них величин, находим $$ n=1.5, a=b=25~см, h=3~мм. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ h=\sqrt{h_{1} h_{2}}=3~мм. \\ n=1.5, a=b=25~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Преломление", "Всероссийские", "Линзы"] |
|
{"text": [{"text": "В колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности $L=0.1~Гн$ и конденсатора емкости $C=10~мкФ$, включен «электронный ключ», составленный из двух одинаковых диодов (см. рисунок). <img_0> Вольтамперная характеристика диодов показана на рисунке ниже.. <img_1> Пороговое напряжение, при котором диод открывается, $U_{п}=0.7~В$. Перед замыканием ключа $K$ напряжение на конденсаторе равно $U_{0}=4.5~В$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Через какое время после замыкания ключа $K$ колебания в контуре прекратятся и установится стационарный режим?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему будет равно установившееся (остаточное) напряжение на конденсаторе?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Постройте график зависимости напряжения $U_{с}$ на конденсаторе от времени."}]} | [{"condition": "Через какое время после замыкания ключа $K$ колебания в контуре прекратятся и установится стационарный режим? ", "solution": {"text": "Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа $K$, когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряжения $U_{C}$ на конденсаторе: $U_{C}=U_{п}+U_{L}$ или, с учетом того что $U_{L}=-L \frac{d J}{d t}$, и $J=\frac{d q}{d t}=C \frac{d U_{C}}{d t}$, $\frac{d^{2} U_{C}}{d t^{2}}+\frac{1}{L C} U_{C}=\frac{1}{L C} U_{п}$. Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет меняться по гармоническому закону с частотой $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}$. Из энергетических соображений найдем экстремальные значения напряжений $U_{Э}$на конденсаторе: $$ \frac{C U_{0}^{2}}{2}=C (U_{0}-U_{Э}) U_{п}+\frac{C U_{Э}^{2}}{2}. $$ Это уравнение имеет два корня: $$ U_{Э 1}=U_{0}, U_{Э 2}=-(U_{0}-2 U_{п}) $$ Зависимость $U_{C}(t)$ будет иметь вид: $$ U_{C}(t)=(U_{0}-U_{п}) \cos (\omega_{0} t)+U_{п} $$ при $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$, где $T=2 \pi \sqrt{L C}$ — период колебаний. После $n$ полупериодов напряжение на конденсаторе $$ U_{C п}=(-1)^{n} (U_{0}-2 n U_{п})(n=1,2,3, \ldots). $$ Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда $$ |U_{C п}|<|U_{п}|. $$ В нашем случае $n=3$, поэтому время установления стационарного режима $$ \tau=3 \pi \sqrt{L C}=9.42 \cdot 10^{-3}~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=3 \pi \sqrt{L C}=9.42 \cdot 10^{-3}~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Чему будет равно установившееся (остаточное) напряжение на конденсаторе? ", "solution": {"text": "Остаточное напряжение на конденсаторе $$ U_{C}=-0.3~B. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U_{C}=-0.3~B. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Постройте график зависимости напряжения $U_{с}$ на конденсаторе от времени. ", "solution": {"text": "График $U_{C}(t)$ представлен на рисунке. $\textit{Примечание}$. Эта задача аналогична механической задаче о колебании груза на пружине при наличии сухого трения."}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Конденсатор", "Диод", "Цепь с конденсатором", "Колебания", "Всероссийские", "Сухое трение", "Электромеханическая аналогия"] |
|
{"text": [{"text": "В выданном вам секретном «черном ящике» находятся две одинаковые электрические лампочки $Л_1$ и $Л_2$, соединенные последовательно, к одной из лампочек параллельно подключен резистор $R_x$, сопротивление которого вам предстоит определить. От схемы наружу сделано три вывода – от концов и середины электрической схемы (см. рис. 1). На схеме они пронумерованы 1-2-3. На коробке выводы обозначены «А», «В», «С» (последовательность выводов может быть иной, чем показана на схеме). Рис. 1."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Используя только батарейку, определите, какой из проводов «черного ящика», какому выводу схемы (рис. 1) соответствует. Иными словами, установите соответствие между номерами выводов на схеме «1», «2», «3» и обозначениями на коробке «А», «В», «С»."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Измерьте вольтамперные характеристики (т.е. зависимость силы тока от напряжения) для лампочки накаливания, а также для лампочки накаливания с параллельно соединенным резистором."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "По данным, полученным при выполнении п. , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения)."}]} | [{"condition": "Используя только батарейку, определите, какой из проводов «черного ящика», какому выводу схемы (рис. 1) соответствует. Иными словами, установите соответствие между номерами выводов на схеме «1», «2», «3» и обозначениями на коробке «А», «В», «С». Ответ обоснуйте проведенными опытами и электрическими схемами.
Самое поразительное в данном ящике, что при подключении батарейки к любым двум выводам, горит только одна лампочка. При подключении к выводам 1-3 вторая лампочка не светится потому, что силы тока не хватает, чтобы раскалить ее спираль – она шунтируется резистором.Для определения соответствия между выводами необходимо объединять выводы и определить при каком подключении начинают светиться обе лампочки. Это произойдет, если батарейка подключена к выводам 2 и соединенным вместе 1 и 3. Таким образом можно определить центральный вывод 2.Выводы 1 и 3 можно различить по яркости горения лампочек: шунтированная лампочка светится менее ярко.
Ответ:
«А» $ = $ «2», «В» $ =$ «1», «С» $ =$ «3»", "solution": {"text": "<img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: «А» $ = $ «2», «В» $ =$ «1», «С» $ =$ «3»"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Измерьте вольтамперные характеристики (т.е. зависимость силы тока от напряжения) для лампочки накаливания, а также для лампочки накаливания с параллельно соединенным резистором. На одном бланке постройте графики полученных зависимостей. Приведите электрические схемы, использованные вами при проведении измерений. Обязательно укажите, между какими выводами «черного ящика вы проводили измерения!
Для измерения ВАХ необходимо использовать электрическую схему, показанную на рисунке. Пунктиром показан провод, который следует подключать для измерения при малых токах. На схеме $R_x$ — исследуемый элемент, $R_0$ — известное сопротивление. Сила тока рассчитывается по формуле \[I = {U_0}/{R_0}\]
В таблице ниже приведены результаты измерений ВАХ одной лампочки и лампочки с параллельно подключенным резистором.
Ответ:
ВАХ лампочкиВАХ лампочка $+$ резистор$U_л,~В$$U_r,~мВ$$I_л,~ мА$$U_л,~В$$U_r,~мВ$$I_л,~ мА$3.974996.082.61259507.843.844894.122.37238466.673.694792.162.10212415.693.544690.201.96199390.203.384588.241.83187366.673.134384.311.71176345.103.004282.351.60165323.532.864180.391.51156305.882.734078.431.38144282.352.633976.471.28134262.751.893364.711.19125245.102.353772.551.11118231.372.153568.631.00108211.762.013466.670.9098192.161.893364.710.8492180.391.643160.780.8593182.351.382854.900.7280156.861.122549.020.6370137.251.032447.060.5565127.450.762141.180.4857111.760.611937.250.384894.120.501733.330.324180.390.371529.410.132243.140.191325.49$-$$-$$-$", "solution": {"text": "<img_1> В таблице ниже приведены результаты измерений ВАХ одной лампочки и лампочки с параллельно подключенным резистором. | ВАХ лампочки | | | ВАХ лампочка $\+$ резистор | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U\_л,\~В$ | $U\_r,\~мВ$ | $I\_л,\~ мА$ | $U\_л,\~В$ | $U\_r,\~мВ$ | $I\_л,\~ мА$ | | 3\.97 | 49 | 96\.08 | 2\.61 | 259 | 507\.84 | | 3\.84 | 48 | 94\.12 | 2\.37 | 238 | 466\.67 | | 3\.69 | 47 | 92\.16 | 2\.10 | 212 | 415\.69 | | 3\.54 | 46 | 90\.20 | 1\.96 | 199 | 390\.20 | | 3\.38 | 45 | 88\.24 | 1\.83 | 187 | 366\.67 | | 3\.13 | 43 | 84\.31 | 1\.71 | 176 | 345\.10 | | 3\.00 | 42 | 82\.35 | 1\.60 | 165 | 323\.53 | | 2\.86 | 41 | 80\.39 | 1\.51 | 156 | 305\.88 | | 2\.73 | 40 | 78\.43 | 1\.38 | 144 | 282\.35 | | 2\.63 | 39 | 76\.47 | 1\.28 | 134 | 262\.75 | | 1\.89 | 33 | 64\.71 | 1\.19 | 125 | 245\.10 | | 2\.35 | 37 | 72\.55 | 1\.11 | 118 | 231\.37 | | 2\.15 | 35 | 68\.63 | 1\.00 | 108 | 211\.76 | | 2\.01 | 34 | 66\.67 | 0\.90 | 98 | 192\.16 | | 1\.89 | 33 | 64\.71 | 0\.84 | 92 | 180\.39 | | 1\.64 | 31 | 60\.78 | 0\.85 | 93 | 182\.35 | | 1\.38 | 28 | 54\.90 | 0\.72 | 80 | 156\.86 | | 1\.12 | 25 | 49\.02 | 0\.63 | 70 | 137\.25 | | 1\.03 | 24 | 47\.06 | 0\.55 | 65 | 127\.45 | | 0\.76 | 21 | 41\.18 | 0\.48 | 57 | 111\.76 | | 0\.61 | 19 | 37\.25 | 0\.38 | 48 | 94\.12 | | 0\.50 | 17 | 33\.33 | 0\.32 | 41 | 80\.39 | | 0\.37 | 15 | 29\.41 | 0\.13 | 22 | 43\.14 | | 0\.19 | 13 | 25\.49 | $\-$ | $\-$ | $\-$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | ВАХ лампочки | | | ВАХ лампочка $\+$ резистор | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U\_л,\~В$ | $U\_r,\~мВ$ | $I\_л,\~ мА$ | $U\_л,\~В$ | $U\_r,\~мВ$ | $I\_л,\~ мА$ | | 3\.97 | 49 | 96\.08 | 2\.61 | 259 | 507\.84 | | 3\.84 | 48 | 94\.12 | 2\.37 | 238 | 466\.67 | | 3\.69 | 47 | 92\.16 | 2\.10 | 212 | 415\.69 | | 3\.54 | 46 | 90\.20 | 1\.96 | 199 | 390\.20 | | 3\.38 | 45 | 88\.24 | 1\.83 | 187 | 366\.67 | | 3\.13 | 43 | 84\.31 | 1\.71 | 176 | 345\.10 | | 3\.00 | 42 | 82\.35 | 1\.60 | 165 | 323\.53 | | 2\.86 | 41 | 80\.39 | 1\.51 | 156 | 305\.88 | | 2\.73 | 40 | 78\.43 | 1\.38 | 144 | 282\.35 | | 2\.63 | 39 | 76\.47 | 1\.28 | 134 | 262\.75 | | 1\.89 | 33 | 64\.71 | 1\.19 | 125 | 245\.10 | | 2\.35 | 37 | 72\.55 | 1\.11 | 118 | 231\.37 | | 2\.15 | 35 | 68\.63 | 1\.00 | 108 | 211\.76 | | 2\.01 | 34 | 66\.67 | 0\.90 | 98 | 192\.16 | | 1\.89 | 33 | 64\.71 | 0\.84 | 92 | 180\.39 | | 1\.64 | 31 | 60\.78 | 0\.85 | 93 | 182\.35 | | 1\.38 | 28 | 54\.90 | 0\.72 | 80 | 156\.86 | | 1\.12 | 25 | 49\.02 | 0\.63 | 70 | 137\.25 | | 1\.03 | 24 | 47\.06 | 0\.55 | 65 | 127\.45 | | 0\.76 | 21 | 41\.18 | 0\.48 | 57 | 111\.76 | | 0\.61 | 19 | 37\.25 | 0\.38 | 48 | 94\.12 | | 0\.50 | 17 | 33\.33 | 0\.32 | 41 | 80\.39 | | 0\.37 | 15 | 29\.41 | 0\.13 | 22 | 43\.14 | | 0\.19 | 13 | 25\.49 | $\-$ | $\-$ | $\-$ | Ответ: ВАХ лампочкиВАХ лампочка $+$ резистор$U_л,~В$$U_r,~мВ$$I_л,~ мА$$U_л,~В$$U_r,~мВ$$I_л,~ мА$3.974996.082.61259507.843.844894.122.37238466.673.694792.162.10212415.693.544690.201.96199390.203.384588.241.83187366.673.134384.311.71176345.103.004282.351.60165323.532.864180.391.51156305.882.734078.431.38144282.352.633976.471.28134262.751.893364.711.19125245.102.353772.551.11118231.372.153568.631.00108211.762.013466.670.9098192.161.893364.710.8492180.391.643160.780.8593182.351.382854.900.7280156.861.122549.020.6370137.251.032447.060.5565127.450.762141.180.4857111.760.611937.250.384894.120.501733.330.324180.390.371529.410.132243.140.191325.49$-$$-$$-$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "По данным, полученным при выполнении п. A2 , постройте график зависимости силы тока через резистор от напряжения на нем. Рассчитайте сопротивление резистора $R_x$ (не забудьте указать погрешность этого значения). ", "solution": {"text": "На рис. 1 построены графики полученных зависимостей: 1 — лампочка, 2 — лампочка с резистором. Для расчета ВАХ резистора необходимо «вычесть» 1 характеристику из 2. В результате получается прямо пропорциональная зависимость 3. Найденное по ней значение сопротивления оказывается равным (погрешность рассчитана по МНК):"}, "answer": {"answers": ["<img_2> Для расчета ВАХ резистора необходимо «вычесть» 1 характеристику из 2. В результате получается прямо пропорциональная зависимость 3. Найденное по ней значение сопротивления оказывается равным (погрешность рассчитана по МНК):", "Ответ: \[R = (6.02\pm0.02)~Ом\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}] | ["E", "Постоянный ток", "Электричество", "Цепи", "Нелинейный элемент", "ВАХ", "IEPhO", "Черный ящик"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Изначально покоящийся электрон ускоряется напряжением $U=km_0c^2/e$, где $m_0$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд, $c$ — скорость света, $k$ — безразмерная величина. Электрон сталкивается с покоящимся позитроном и аннигилирует, создавая два фотона. Направление, в котором испущен один из фотонов, определяет направление, в котором испущен второй. Найдите минимально возможный угол $\alpha_\min$ между направлениями испускания фотонов. Ответ выразите через $k$. Проведите численный расчет для $k=1$."}]} | [{"condition": "Изначально покоящийся электрон ускоряется напряжением $U=km_0c^2/e$, где $m_0$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд, $c$ — скорость света, $k$ — безразмерная величина. Электрон сталкивается с покоящимся позитроном и аннигилирует, создавая два фотона. Направление, в котором испущен один из фотонов, определяет направление, в котором испущен второй. Найдите минимально возможный угол $\alpha_\min$ между направлениями испускания фотонов. Ответ выразите через $k$. Проведите численный расчет для $k=1$. ", "solution": {"text": "Найдём энергию электрона после разгона напряжением:$$E_{\text{э}}=m_0c^2+eU=m_0c^2(1+k)$$Воспользуемся связью энергии-импульса$$E^2_{\text{э}}=p^2_{\text{э}}c^2+m^2_0c^4$$откуда:$$p_{\text{э}}=m_0c\sqrt{k(2+k)}$$Масса позитрона равна массе электрона, поэтому энергия системы равна:$$E=E_{\text{э}}+E_{\text{п}}=m_0c^2(2+k)$$Поскольку масса фотона равна нулю, для него верно:$$E=pc$$откуда получим уравнения, связывающие импульсы фотонов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$:$$E=(p_1+p_2)c\qquad \vec{p}_{\text{э}}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$$Далее можно действовать двумя способами. Алгебраический подход: Из выражения для импульса $\vec{p}$ получим: $$p^2_\text{э}=p^2_1+p^2_2+2p_1p_2\cos\alpha=(p_1+p_2)^2-2p_1p_2(1-\cos\alpha)$$ Учитывая, что $p_1+p_2=E/c$, и что $2(1-\cos\alpha)=4\sin^2\alpha/2$, получим: $$\sin^2\alpha/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1p_2c^2}=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1c(E-p_1c)}$$ Максимальное значение знаменателя достигается, если $p_1=p_2=E/2c$. Тогда: $$\sin^2\alpha_{min}/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4(E/2)^2}=1-\left(\cfrac{p_\text{э}c}{E}\right)^2$$ Геометрический подход: <img_0> <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\alpha_\min=2\arccos\sqrt{\cfrac{k}{k+2}}$ $\alpha_\min(k=1)=109.5^\circ$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "★", "ЗСЭ", "СТО", "ЗСИ", "Инвариант СТО", "2012", "Physics Cup"] |
|
{"text": [{"text": "Для измерения электрического сопротивления широко используются мостовые схемы. <img_0> На рисунке показана электрическая схема моста Уитстона, предназначенная для измерения неизвестного сопротивления $R_{x}$. Сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ можно плавно изменять. Сопротивление резистора $R_{0}$ известно с высокой точностью. Изменяя сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$, добиваются, чтобы ток $i$ через миллиамперметр стал равным нулю. В этом случае говорят, что мост сбалансирован."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{0}$ при условии сбалансированности моста."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,50"}, "text": "В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_{0}$ (то есть при $i < i_{0}$ миллиамперметр показывает ноль). Определите относительную погрешность измерения сопротивления $R_{x}$, вызванную неточностью определения нулевого значения тока через миллиамперметр. Общую силу тока в цепи $I_{0}$ считайте постоянной и известной, причем $I_{0}\gg i_{0}$."}]} | [{"condition": "Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{0}$ при условии сбалансированности моста. ", "solution": {"text": "На рисунке показано направление протекания электрических токов и их обозначение. Силы токов через резисторы могут быть найдены из очевидных соотношений$$$$ <img_1> Из распределения токов, показанного на рисунке, следует, что сила тока через миллиамперметр равна $$i=I_{1}-I_{2}=I_{0}\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}} \right). \ (3)$$Чтобы сила тока через миллиамперметр стала равной нулю, необходимо выполнение условия (условие сбалансированности моста)$$\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}},$$или$$\frac{R_{1}}{R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{x}}. \ (4)$$из которого следует формула для определения неизвестного сопротивления$$R_{x}=R_{0}\frac{R_{2}}{R_{1}}. \ (5)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R_{x}=R_{0}\frac{R_{2}}{R_{1}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_{0}$ (то есть при $i < i_{0}$ миллиамперметр показывает ноль). Определите относительную погрешность измерения сопротивления $R_{x}$, вызванную неточностью определения нулевого значения тока через миллиамперметр. Общую силу тока в цепи $I_{0}$ считайте постоянной и известной, причем $I_{0}\gg i_{0}$. ", "solution": {"text": "Для определения погрешности этой формулы следует решить уравнение (3). В ходе решения можно использовать условие малости силы тока $i$. Обозначим $\frac{i}{I_{0}}=\eta$, и при проведении преобразований учтем, что $\eta \ll 1 $:$$\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\eta \Rightarrow \frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \\\frac{R_{2}+R_{x}}{R_{2}}=\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \right)^{-1}=\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}}\left(1-\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{-1} \approx \frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right) \\1+\frac{R_{x}}{R_{2}}=\left(1+\frac{R_{0}}{R_{1}} \right) \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)=1+\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta \left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2} \Rightarrow R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}.$$Перепишем последнее соотношение в виде $$R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}\left(1+\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}} \right), \ (6)$$откуда следует, что относительная погрешность формулы (5) равна$$\varepsilon =\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}}. \ (7)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varepsilon =\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,50"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Известно, что искусственный спутник Земли можно запустить так, чтобы он неподвижно висел над одним и тем же географическим пунктом Земли."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Можно ли запустить спутник так, чтобы он казался неподвижным относительно звезд?"}]} | [{"condition": "Можно ли запустить спутник так, чтобы он казался неподвижным относительно звезд? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Такое тело не может быть спутником Земли."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Всероссийские", "Спутники", "Орбита"] |
|
{"text": [{"text": "На потолке комнаты высотой $L=3.0~м$ расположен плоский матовый светильник, имеющий форму прямоугольника размерами $c \times b$. Под светильником на высоте $h$ над полом горизонтально расположили непрозрачную квадратную пластинку со стороной $a=10~см$ (см. рисунок ниже). <img_0> На рисунке ниже схематически изображен вид тени, отбрасываемой пластинкой на пол комнаты: тень состоит из темного прямоугольника, окруженного другим более светлым прямоугольником, причем при приближении к краям этого внешнего прямоугольника тень светлеет. Цена деления шкал на этом рисунке $1.0~см$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите размеры источника света $b$ и $c$, и высоту $h$ над полом, на которой расположена пластинка."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Укажите ориентацию источника света по отношению к тени, отбрасываемой пластинкой."}]} | [{"condition": "Определите размеры источника света $b$ и $c$, и высоту $h$ над полом, на которой расположена пластинка. ", "solution": {"text": "Описанная в условии задачи форма тени объясняется возникновением полной тени (темный прямоугольник) и полутени (внешний более светлый прямоугольник). На рисунке ниже показан ход крайних лучей, образующих тень $C_{1}C_{2}$ и полутень ($C_{1}D_{1}$ и $C_{2}D_{2}$) в сечении перпендикулярном одной из сторон источника. Обозначим ширину полной тени $C_{1}C_{2}$ — $x_{1}$, а ширину полутени $D_{1}D_{2}$ — $x_{2}$. Эти величины могут быть выражены через геометрические размеры источника и пластинки. <img_2> Из подобия треугольников $A_{2}B_{1}B_{2}$ и $A_{2}D_{1}C_{2}$ следует$$\frac{x_{1}+x_{2}}{2a}=\frac{L}{L-h}. \ (1)$$Из подобия треугольников $A_{1}A_{2}B_{2}$ и $B_{2}C_{2}D_{2}$$$\frac{x_{2}-x_{1}}{2b}=\frac{h}{L-h}=\frac{L}{L-h}-1.\ (2)$$По рисунку теней определяем требуемые размеры:$$x_{1}=12~см, x_{2}=28~см.$$С помощью формулы $(1)$ находим$$\frac{L}{L-h}=2.$$Отсюда находим $h=\frac{L}{2}=1.5~м$. Из формулы $(2)$ определяем один из поперечных размеров источника $b=8.0~см$. Аналогичные расчеты для перпендикулярного сечения дают следующие результаты:$$x_{1}=18~см, x_{2}=22~см.$$Откуда следует, что $c=2.0~см$. Из полученных результатов следует, что длинная сторона источника расположена горизонтально (если использовать рис. 2 из условия задачи)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$b=8.0~см.$$$$c=2.0~см.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Укажите ориентацию источника света по отношению к тени, отбрасываемой пластинкой. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Длинная сторона источника расположена горизонтально (если использовать рис. 2 из условия задачи)."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "К сопротивлению $R=2.0~Ом$ подключена бесконечная система источников питания так, как показано на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "4,00"}, "text": "Определите силу тока, протекающего через сопротивление $R$. Э.д.с источников тока и их внутренние сопротивления известны и равны: $\mathcal{E}_1=2.0~В$, $r_1=1.0~Ом$ и $\mathcal{E}_2=1.0~В$, $r_2=2.0~Ом$."}]} | [{"condition": "Определите силу тока, протекающего через сопротивление $R$. ", "solution": {"text": "Заменим бесконечную цепочку источников тока неким эффективным источником тока с э.д.с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Тогда получится схема, изображенная на рисунке слева. Теперь отсоединим сопротивление $R$ и добавим еще два источника тока, а затем подсоединим обратно сопротивление $R$. Получится схема, изображенная на рисунке. Так как число ячеек с элементами бесконечно велико, то обе схемы должны быть эквивалентны при любой величине сопротивления $R$. <img_1> Из законов постоянного тока можно показать, что справедливы следующие два утверждения:$1.$ Пусть имеются два источника тока с $\mathcal{E}_1$, $r_1$ и $\mathcal{E}_2$, $r_2$, соединенные последовательно. Тогда их можно заменить одним источником тока с $\mathcal{E}=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2$ и $r=r_1+r_2$.$2.$ Пусть имеются два источника тока с $\mathcal{E}_1$, $r_1$ и $\mathcal{E}_2$, $r_2$, соединенные параллельно. Тогда их можно заменить одним источником тока с $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_1r_2+\mathcal{E}_2r_1)/(r_1+r_2)$ и $r=r_1r_2/(r_1+r_2)$.Теперь, применяя $1$ и $2$ к правой схеме, мы должны получить левую схему, а значит должны выполняться соотношения$$\mathcal{E}=\frac{(\mathcal{E}+\mathcal{E}_1)r_2+\mathcal{E}_2(r+r_1)}{r+r_1+r_2}, \tag{1}$$$$r=\frac{r_2(r+r_1)}{r+r_1+r_2}. \tag{2}$$Отсюда находим решение$$\mathcal{E}=\mathcal{E}_2+\frac{\mathcal{E}_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{4r_2}{r_1}}-1\right)=3.0~В, \tag{3}$$$$r=\frac{r_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{4r_2}{r_1}}-1\right)=1.0~Ом. \tag{4}$$Значит, сила тока, протекающего через сопротивление $R$, равна$$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=1.0~А. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=1.0~А.$$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В схеме, изображённой на рисунке, все элементы идеальные, указанные параметры считать известными. До замыкания ключа конденсатор был не заряжен. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "5,00"}, "text": "Какое количество теплоты выделится в резисторе $R$ после замыкания ключа?"}]} | [{"condition": "Какое количество теплоты выделится в резисторе $R$ после замыкания ключа? ", "solution": {"text": "Первое решение <img_1> <img_2> выделившееся тепло равно $Q_0=\frac{C\varepsilon^2}{2}$. В резисторе $R$ выделилось $$Q=\frac{R}{R+r_0}Q_0=\frac{R}{R+\frac{r}{2}}\cdot \frac{C\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^2}{2}=\frac{RC\varepsilon^2}{4(2R+r)}.$$ Второе решение <img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\frac{RC\varepsilon^2}{4(R+2r)}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "5,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "При решении задач по физике микромира мы часто сталкиваемся с фундаментальными константами, например, массами элементарных частиц и постоянной Планка. В СИ значения этих величин очень малы, что зачастую создаёт неудобства при расчётах. Решением проблемы является атомная система единиц, в которой масса электрона $m_e$ принимается за единичную, единицей момента импульса является $\hbar$, единицей заряда служит $\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0}}$, $k_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ остаётся той же. Иные единицы измерения можно получить из физических формул."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "15,00"}, "text": "Используя соотношения модели атома водорода Бора, выразите через константы $k_e$, $m_e$, $e$ и $\hbar$ единицы измерения длины $L_{au}$, времени $T_{au}$ и энергии $E_{au}$ в атомной системе единиц."}]} | [{"condition": "Используя соотношения модели атома водорода Бора, выразите через константы $k_e$, $m_e$, $e$ и $\hbar$ единицы измерения длины $L_{au}$, времени $T_{au}$ и энергии $E_{au}$ в атомной системе единиц. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[1\mathrm{~L}_{\mathrm{au}}=\left(\frac{\hbar^{2}}{m_{\mathrm{e}} k_{\mathrm{e}} e^{2}}\right)~\text{м},\ 1\mathrm{~T}_{\mathrm{au}}=\left(\frac{\hbar^{3}}{m_{\mathrm{e}} k_{\mathrm{e}}^{2} e^{4}}\right)~\text{с},\ 1 \mathrm{~E}_{\mathrm{au}}=\left(\frac{m_{\mathrm{e}} k_{\mathrm{e}}^{2} e^{4}}{\hbar^{2}}\right)~\text{Дж}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "15,00"}] | ["T", "Китайские", "Метод размерностей"] |
|
{"text": [{"text": "В схеме, изображенной на рисунке, конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U$. После замыкания ключа и прекращения тока в цепи оказалось, что напряжение на конденсаторе поменяло знак на противоположный и стало равным $1~ В$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите напряжение $U$. Батарейки, диоды, катушка — идеальные. ЭДС батареек равны $1.5~ В$."}]} | [{"condition": "Найдите напряжение $U$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Колебательный контур", "Всероссийские", "Электрические цепи", "Цепь с диодом"] |
|
{"text": [{"text": "Атом гелия является простейшей многоэлектронной системой. Согласно планетарной модели атома он состоит из ядра с зарядом $+2e$ и двух электронов, которые двигаются вокруг него. Задача об атоме гелия в общем виде решается на основе квантовой механики, где учитывается тождественность (неразличимость) двух электронов. Это достаточно сложная задача. Однако, многие качественные сведения об атоме гелия можно получить, не решая непосредственно квантово-механическую задачу, а всего лишь применяя правила квантования Бора. В этой задаче Вам предлагается качественно исследовать атом гелия. В дальнейшем во всех ниже перечисленных пунктах считайте, что электроны в атоме имеют минимальную возможную энергию (находятся в основном состоянии) и двигаются по одной круговой орбите радиуса $r$. Согласно постулатам Бора орбитальный момент импульса каждого электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar$."}, {"balls": {"number": "a", "exponent": "1,00"}, "text": "Напишите соотношение, которому должны удовлетворять импульс $p$ и радиус орбиты $r$ каждого электрона для основного состояния атома гелия."}, {"balls": {"number": "b", "exponent": "2,00"}, "text": "Напишите выражение для потенциальной энергии системы как функцию $r$."}, {"balls": {"number": "c", "exponent": "2,00"}, "text": "Определите выражение для радиуса орбиты электронов $r$ и найдите его численное значение."}, {"balls": {"number": "d", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите выражение для полной энергии основного состояния атома гелия и найдите ее численное значение."}, {"balls": {"number": "e", "exponent": "2,00"}, "text": "Определите выражение для энергии однократной ионизации атома гелия и найдите ее численное значение. Атомы могут ионизироваться под действием внешнего давления. Такое явление происходит в центрах массивных планет."}, {"balls": {"number": "f", "exponent": "2,00"}, "text": "Оцените давление, при котором произойдет ионизация атомов гелия."}]} | [{"condition": "Напишите соотношение, которому должны удовлетворять импульс $p$ и радиус орбиты $r$ каждого электрона для основного состояния атома гелия. ", "solution": {"text": "Согласно постулату Бора орбитальный момент импульса каждого электрона принимает следующий дискретный ряд значений$$m_{e}v\cdot r=n \hbar, \text{ где } n=1, 2, 3, \dots$$Для основного состояния $n=1$. Тогда$$p \cdot r= \hbar.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p \cdot r= \hbar.$$"]}, "number_part": "a", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Напишите выражение для потенциальной энергии системы как функцию $r$. ", "solution": {"text": "Потенциальная энергия системы состоит из энергии притяжения электронов с ядром и энергии отталкивания электронов между собой. Классически система может совершать вращательное движение по круговым орбитам только если электроны все время расположены по разные стороны от ядра. При этом система имеет потенциальную энергию$$E_{p}=-\frac{1}{\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}+\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}=-\frac{7}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_{p}=-\frac{7}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.$$"]}, "number_part": "b", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Определите выражение для радиуса орбиты электронов $r$ и найдите его численное значение. ", "solution": {"text": "Второй закон Ньютона для каждого из электронов имеет вид:$$m_{e}\frac{v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{2e^{2}}{r^{2}}-\frac{e^{2}}{4r^{2}} \right).$$С учетом квантования орбитального момента импульса из этого уравнения получим$$r=\frac{16\pi\varepsilon_{0}}{7}\frac{\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}}.$$Численное значение$$r=3.02\cdot 10^{-11}~м.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r=\frac{16\pi\varepsilon_{0}}{7}\frac{\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}}=3.02\cdot 10^{-11}~м.$$"]}, "number_part": "c", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Определите выражение для полной энергии основного состояния атома гелия и найдите ее численное значение. ", "solution": {"text": "Полная энергия основного состояния атома гелия$$E=E_{k}+E_{p}=2\frac{p^{2}}{2m_{e}}-\frac{7}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.$$С учетом квантования орбитального момента импульса и выражения для радиуса орбиты из предыдущего пункта имеем$$E=-\left(\frac{7}{16\pi\varepsilon_{0}} \right)^{2}\frac{me^{4}}{\hbar^{2}}.$$Численное значение$$E=-133.32\cdot 10^{-19}~Дж=-83.3~эВ.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E=-\left(\frac{7}{16\pi\varepsilon_{0}} \right)^{2}\frac{me^{4}}{\hbar^{2}}=-83.3~эВ.$$"]}, "number_part": "d", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определите выражение для энергии однократной ионизации атома гелия и найдите ее численное значение. ", "solution": {"text": "Однократно ионизированный атом гелия представляет собой водородоподобный атом с зарядом ядра $+2e$. Его энергия определяется по следующей формуле$$E_{1}=-\frac{1}{8\pi^{2}\varepsilon^{2}_{0}}\frac{me^{4}}{\hbar^{2}}=-87.06\cdot 10^{-19}~Дж=-54.4~эВ.$$Тогда энергия однократной ионизации нейтрального атома гелия$$E_{ion}=E_{1}-E=28.9~эВ.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_{ion}=E_{1}-E=28.9~эВ.$$"]}, "number_part": "e", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Оцените давление, при котором произойдет ионизация атомов гелия. ", "solution": {"text": "Атомы ионизируются под действием внешнего давления, когда работа для изменения объема на величину порядка размера атома равна энергии ионизации. В качестве оценки это условие запишется как$$E_{ion} \sim \frac{4\pi r^{3}}{3}p_{ion}.$$Численное значение давления порядка$$p_{ion}\sim 10^{14}~Па.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_{ion} \sim \frac{4\pi r^{3}}{3}p_{ion} \sim 10^{14}~Па.$$"]}, "number_part": "f", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Согласно одной из первых моделей (модель Томсона), атом водорода представляет собой равномерно заряженный положительным электричеством шар, в центре которого находится электрон. В целом атом нейтрален."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найти радиус такого атома, если известно, что минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону для его удаления из атома на большое расстояние, равна $W_{i}$. Заряд электрона $e$. Принять во внимание, что равномерно заряженный шаровой слой в своей внутренней полости электрического поля не создает."}]} | [{"condition": "Найти радиус такого атома, если известно, что минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону для его удаления из атома на большое расстояние, равна $W_{i}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ R=\frac{3 e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} W_{i}}. $$ Подставив численные значения величин (энергия ионизации атома водорода $W_{1}=13.6~эВ$, или $21.7 \cdot 10^{-19}~Дж$; заряд же ядра атома водорода $e=1.6 \cdot 10^{-19}~Кл$, получаем для радиуса атома водорода в модели Томсона значение $$ R \approx 1.6 \cdot 10^{-10}~м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Всероссийские", "Атом водорода", "Потенциальный барьер"] |
|
{"text": [{"text": "Экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что почти у всех известных ему изопроцессов (изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического) график зависимости давления от объема имеет соответствующее название: изохора, изобара, изотерма, адиабата. У процесса же, в ходе которого не изменяется внутренняя энергия, такого названия нет! Глюк решил восполнить этот пробел и назвал отмеченную зависимость «изоэргой». Далее он решил сравнить ход «изоэрги» с изотермой и адиабатой для реального одноатомного газа при условиях, близких к нормальным. На рисунке приведены результаты его исследований. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Выясните, какому из трех процессов $1-2$, $1-3$ или $1-4$ соответствует «изоэрга», какому — изотерма, а какому — адиабата. Ответ обоснуйте."}]} | [{"condition": "Выясните, какому из трех процессов $1-2$, $1-3$ или $1-4$ соответствует «изоэрга», какому — изотерма, а какому — адиабата. Ответ обоснуйте. ", "solution": {"text": "$1$. Рассмотрим изотермическое расширение реального газа. Кинетическая энергия молекул однозначно определяется температурой $\left(U_{к}=\frac{3}{2} k T\right)$ и, следовательно, остается постоянной. При нормальных условиях расстояния между молекулами существенно превышают их размер, поэтому между молекулами преобладают силы притяжения. При расширении газа против этих сил совершается положительная работа и потенциальная энергия молекул газа увеличивается. Следовательно, при перемещении вдоль изотермы в сторону больших объемов внутренняя энергия газа увеличивается, при этом изотерма последовательно пересекает «изоэрги» со все большей энергией (см. рисунок ниже), а это означает, что в точке пересечения изотермы с «изоэргой» наклон изотермы относительно оси $O V$ меньше. <img_1> $2$. При адиабатическом расширении газа его внутренняя энергия уменьшается на величину работы, совершенной газом: $\Delta U=-\Delta A$. Следовательно, при перемещении вдоль адиабаты в сторону больших объемов мы переходим к «изоэргам» со все меньшей внутренней энергией, а это означает, что в точке пересечения адиабаты с «изоэргой» наклон адиабаты относительно оси $O V$ больше. Таким образом, кривая $1-2$ является изотермой, кривая $1-3$ — «изоэргой», а кривая $1-4$ — адиабатой (см. рисунок ниже). <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Кривая $1-2$ является изотермой, кривая $1-3$ — «изоэргой», а кривая $1-4$ — адиабатой (см. рисунок ниже)."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "Изопроцессы", "Реальный газ"] |
|
{"text": [{"text": "Один моль идеального одноатомного газа, находящийся в цилиндре под поршнем, квазистатически нагревают от температуры $T_{1} =300~К$ до $T_{2} =600~К$, изменяя объём таким образом, что зависимость теплоёмкости газа $C$ от температуры имеет вид, показанный на рисунке ниже. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите работу, совершённую над газом от состояния, в котором график зависимости его объёма от температуры достигал локального максимума, до состояния, в котором этот же график достигал локального минимума. Ответ выразите в джоулях, считая универсальную газовую постоянную равной $R = 8.31~Дж/К$."}]} | [{"condition": "Найдите работу, совершённую над газом от состояния, в котором график зависимости его объёма от температуры достигал локального максимума, до состояния, в котором этот же график достигал локального минимума. Ответ выразите в джоулях, считая универсальную газовую постоянную равной $R = 8.31~Дж/К$. ", "solution": {"text": "Из первого начала термодинамики следует, что$$\delta Q=dU+dA,$$где $\delta Q$ представляет собой количество подводимого тепла, $dU$ — изменение внутренней энергии, $dA$ — совершенная газом работа. Для одного моля идеального газа можно записать эти величины через изменение объема $dV$ и температуры $dT$ при известном давлении $p$ в следующем виде$$\delta A=pdV, \\dU=C_{V}dT.$$По определению теплоемкости имеем$$C=\frac{\delta Q}{dT},$$тогда из соотношений выше получаем $$p\frac{dV}{dT}=C-C_{V},$$при молярной теплоемкости одноатомного газа при постоянном объеме равной $$C_{V}=\frac{3}{2}R.$$Из приведенного в условии графика видно, что при температуре$$T^{*}_{1}=350~К$$теплоемкость $C=C_{V}$ и, соответственно, $\frac{dV}{dT}=0$. При переходе через эту температуру знак производной $\frac{dV}{dT}$ изменяется с плюса на минус. Значит, при этой температуре объём газа достигает локального максимума: $T_{\max}=T^{*}_{1} = 350~К$. При температуре $T^{*}_{2} = 500~К$ производная $\frac{dV}{dT}$ также равняется нулю, а при переходе через эту точку знак ее производной изменяется с минуса на плюс. Это означает, что $T^{*}_{2}$ является точкой локального минимума объёма: $T_{\min}= T^{*}_{2}= 500~К$. <img_1> На участке от $T^{*}_{1}= 350~К$ до $T^{*}_{2}= 500~К$ газ получает теплоту $Q$, численно равную площади под зависимостью $C(T)$, то есть площади фигуры $ABCDE$. Изменение внутренней энергии $\Delta U=C_{V}(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})$ численно равно площади прямоугольника $ABDE$. По первому началу термодинамики $A=\Delta U-Q$, поэтому работа над газом от $T^{*}_{1}$ до $T^{*}_{2}$ численно равна разности площадей прямоугольника $ABDE$ и фигуры $ABCDE$, т.е. площади заштрихованной фигуры $BDC$: $$A=\frac{1}{4}R(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})=312~Дж.$$ Дополнение: Явная зависимость $V(T)$: $$\frac{V}{V_{1}}=\left(\frac{T}{T_{1}}\right)^{7/2} \exp\left(-\frac{T-T_{1}}{\Delta T_{1}}\right),$$ при $T_{1}=300~К \le T \le T_{0}=400~К$ и $\Delta T_{1}=100~К$; $$\frac{V}{V_{0}}=\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{-5/2} \exp\left(\frac{T-T_{0}}{\Delta T_{2}}\right),$$ при $T_{0}=400~К \le T \le T_{2}=600~К$ и $\Delta T_{2}=200~К$; Зависимости $V(T)$ и $P(V)$ в процессе нагрева газа показаны на рисунках ниже. <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=\frac{1}{4}R(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})=312~Дж.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "На рисунке показан предмет $AB$ и его изображение $A^{\prime}B^{\prime}$ в тонкой линзе. <img_0> С помощью построений найдите:"}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "2,00"}, "text": "а) оптический центр линзы; б) плоскость линзы; б) плоскость линзы; б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы."}, {"balls": {"number": "2.", "exponent": "0,50"}, "text": "Укажите, является эта линза собирающей или рассеивающей."}]} | [{"condition": "а) оптический центр линзы; б) плоскость линзы; в) главные фокусы линзы. ", "solution": {"text": "<img_2> Все лучи, выходящие из точки $A$, после преломления в линзе проходят через точку $A^{\prime}$, все лучи, выходящие из точки $B$, после преломления в линзе проходят через точку $B^{\prime}$. Лучи, попадающие в оптический центр линзы, не изменяют своего направления. Поэтому точка пересечения прямых, проходящих через точки $A$ $A^{\prime}$ и $B$ $B^{\prime}$ есть оптический центр линзы $O$. Если луч проходит через обе точки $A$ и $B$, то после преломления в линзе он проходит через точки $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$. Следовательно, точка $C$ пересечения прямых $AB$ и $A^{\prime}B^{\prime}$ лежит в плоскости линзы. Таким образом, плоскость линзы проходит через точки $O$ и $C$. Перпендикуляр к плоскости линзы, проходящий через оптический центр является главной оптической осью линзы. Дальнейшие построения являются традиционными: через точку $B$ проводим луч $BD$, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе он (или его продолжение) проходит через точку $B^{\prime}$. Продолжая его до пересечения с главной оптической осью, находим один из главных фокусов $F_1$. Аналогично находим второй главный фокус $F_2$. Построение показывает, что линза — рассеивающая."}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Укажите, является эта линза собирающей или рассеивающей. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Построение показывает, что линза — рассеивающая."]}, "number_part": "2.", "exponent_part": "0,50"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В вершинах правильного 17-угольника расположены 17 одинаковых линз. Оптические центры линз находятся точно в вершинах многоугольника, плоскости линз перпендикулярны одной из сторон, примыкающей к линзе. Фокусные расстояния линз равны $F=10~см$ и равны длине стороны 17-угольника. Одну из линз освещают параллельным световым потоком, направленным вдоль ее оптической оси. Оказалось, что один из лучей имеет замкнутую траекторию. <img_0>"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите радиус окружности, вписанной в эту траекторию. Рассмотрите два случая: все линзы собирающие; все линзы рассеивающие. Считайте все углы малыми, так что $\sin\alpha \approx \operatorname{tan}\alpha \approx \alpha$."}]} | [{"condition": "Определите радиус окружности, вписанной в эту траекторию. Рассмотрите два случая: все линзы собирающие; все линзы рассеивающие. ", "solution": {"text": "Рассмотрим луч $AB$ идущий параллельно одной из сторон многоугольника. Чтобы он описал замкнутую траекторию, необходимо, чтобы после преломления в линзе луч шел параллельно следующей стороне. Для этого луч должен отклониться на угол$$\alpha=\frac{2\pi}{17}. \tag{1}$$ <img_1> <img_2> <img_3> В этом случае длина стороны 17-угольника, образуемого траекторией луча будет равна$$l=F-F\operatorname{tg}^2\alpha=F(1-\alpha^2). \tag{5}$$Тогда радиус вписанной окружности $$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. \tag{6}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для собирающих линз: $$R=\frac{F(1+\alpha^2)}{\alpha}=30.8~см.$$Для рассеивающих линз: $$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Узкая цилиндрическая пробирка со смещенным центром масс плавает вертикально в воде в очень широком сосуде. В состоянии равновесия пробирка погружена в воду на глубину $h_0$. Площадь поперечного сечения пробирки равна $S_0$ <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Определите период малых вертикальных колебаний пробирки. Пробирку помещают в цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения $S$, заполненный водой. Пробирка совершает малые колебания вдоль оси сосуда. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A2.1", "exponent": "1,20"}, "text": "Пробирка опустилась на малую величину $x$. Выразите изменение потенциальной энергии системы через $x$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$."}, {"balls": {"number": "A2.2", "exponent": "0,60"}, "text": "Вблизи положения равновесия скорость пробирки равна $v_0$. Выразите кинетическую энергию системы через скорость пробирки $v_0$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$. Считайте, что в зазоре между пробиркой и стенками сосуда вся жидкость движется с одинаковой скоростью $v$."}, {"balls": {"number": "A2.3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите период колебаний пробирки в сосуде."}]} | [{"condition": "Определите период малых вертикальных колебаний пробирки. ", "solution": {"text": "<img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пробирка опустилась на малую величину $x$. Выразите изменение потенциальной энергии системы через $x$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$. ", "solution": {"text": "<img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta U=\frac{1}{2}\frac{S_0 S}{S-S_0}\rho gx^2.$$"]}, "number_part": "A2.1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Вблизи положения равновесия скорость пробирки равна $v_0$. Выразите кинетическую энергию системы через скорость пробирки $v_0$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$. Считайте, что в зазоре между пробиркой и стенками сосуда вся жидкость движется с одинаковой скоростью $v$. ", "solution": {"text": "<img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$K=\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho h_0v_0^2. $$"]}, "number_part": "A2.2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите период колебаний пробирки в сосуде. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение закона сохранения энергии для рассматриваемой системы$$\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho h_0v_0^2+\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho gx^2=E=\operatorname{const}. \tag{14}$$Это уравнение также является уравнением гармонических колебаний с периодом$$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}. \tag{15}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}. $$"]}, "number_part": "A2.3", "exponent_part": "0,40"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Канал проходит по мосту над шоссе."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "В каком случае давление на мост больше: когда по каналу движется пустая или нагруженная баржа?"}]} | [{"condition": "В каком случае давление на мост больше: когда по каналу движется пустая или нагруженная баржа? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Давление на мост определяется уровнем воды в канале. Если по каналу движется баржа, то, строго говоря, уровень воды повышается тем больше, чем тяжелее баржа. Однако практически уровень воды во всем канале, конечно, остается прежним, так как объем воды, вытесненной баржой, очень мал по сравнению с общим объемом воды в канале."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Всероссийские", "Гидростатика", "Давление"] |
|
{"text": [{"text": "Энни и ее очень высокий друг Энди любят вместе бегать трусцой. Они заметили, что при беге у них более или менее одинаковая скорость, но, когда они идут, Энди идет всегда быстрее."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Как можно объяснить это различие между бегом и ходьбой, используя физические доводы?"}]} | [{"condition": "Как можно объяснить это различие между бегом и ходьбой, используя физические доводы? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Во время ходьбы ноги совершают свободные колебания, и период зависит от длины шага (=ног). Во время бега ноги совершают вынужденные колебания, и методом размерности можно оценить, что скорость не зависит от длины ног."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Колебания", "200 задач", "Оценка"] |
|
{"text": [{"text": "В лаборатории экспериментатора Глюка было два одинаковых ареометра. Когда один из них Глюк погрузил в сосуд с исследуемой жидкостью, прибор сначала показал значение $1,027~г/см^3$. Затем его показания стали изменяться, но через продолжительное время он вновь стал показывать $1,027~г/см^3$. Убедившись, что изменений показаний больше нет, Глюк погрузил в сосуд второй прибор (не вынимая первого) и снова стал ждать. Теперь показания приборов установились на значении $1,022~г/см^3$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "12,00"}, "text": "Какова начальная температура ареометров в лаборатории Глюка? Зависимость плотности жидкости от её температуры изображена на рисунке. Теплоёмкости жидкости и приборов можно считать постоянными. Теплообмена с внешней средой нет. <img_0>"}]} | [{"condition": "Какова начальная температура ареометров в лаборатории Глюка? ", "solution": {"text": "А) Рассмотрим первый случай, когда температура ареометров $t_0$ выше, чем начальная температура жидкости. Тогда начальная температура жидкости (по графику) равна $21,5~^\circ\text{C}$, а установившаяся в результате теплообмена с ареометром – $26,5~^\circ\text{C}$. Пусть $C_ж$ – теплоёмкость жидкости, $C_а$ – теплоёмкость ареометра. Запишем уравнение теплового баланса: $$ C_ж \cdot 5~^\circ\text{C} = C_{a}(t_0 - 26,5~^\circ\text{C}).$$ После опускания второго ареометра температура жидкости увеличивается и становится равной $27,4~^\circ\text{C}$. Запишем уравнение теплового баланса для двух ареометров: $$ C_ж(27,4~^\circ\text{C} - 21,5~^\circ\text{C}) = 2C_{a}(t_0 - 27,4~^\circ\text{C}).$$ Отсюда: $$ \dfrac{5,9~^\circ\text{C}}{5~^\circ\text{C}} = \dfrac{2(t_0 - 27,4~^\circ\text{C})}{(t_0 - 26,5~^\circ\text{C})} \Rightarrow t_0 = \dfrac{10\cdot27,4~^\circ\text{C} - 5,9\cdot26,5~^\circ\text{C}}{10-5,9} = 28,7~^\circ\text{C}.$$ Б) Рассмотрим второй случай, когда температура ареометров $t_0$ ниже, чем начальная температура жидкости. Тогда начальная температура жидкости равна $26,5~^\circ\text{C}$, а установившаяся в результате теплообмена с первым ареометром $21,5~^\circ\text{C}$. Запишем уравнение теплового баланса: $$ C_ж \cdot 5~^\circ\text{C} = C_{a}(21,5~^\circ\text{C} - t_0).$$ После опускания второго ареометра температура жидкости уменьшается и становится равной $20,5~^\circ\text{C}$. Запишем уравнение для двух ареометров: $$ C_ж(26,5~^\circ\text{C} - 20,5~^\circ\text{C}) = 2C_{a}(20,5~^\circ\text{C} - t_0).$$ Отсюда: $$ \dfrac{6~^\circ\text{C}}{5~^\circ\text{C}} = \dfrac{2(20,5~^\circ\text{C} - t_0)}{(21,5~^\circ\text{C} - t_0)} \Rightarrow t_0 = \dfrac{10\cdot20,5~^\circ\text{C} - 6\cdot21,5~^\circ\text{C}}{10-6} = 19~^\circ\text{C}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $19~^\circ\text{C}$ или $28,7~^\circ\text{C}$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "12,00"}] | ["T", "Всероссийские", "Теплота", "Плотность", "Температура", "Обработка графика"] |
|
{"text": [{"text": "Расстояние между верхней и нижней частью движущегося вниз эскалатора равно $h = 20~м$. Озорной мальчик массы $m = 50~кг$ решил побежать вверх по эскалатору со (средней) скоростью, относительно ступенек, равной половине его абсолютной скорости."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найти работу, совершенную мальчиком и объяснить, каким образом она формируется."}]} | [{"condition": "Найти работу, совершенную мальчиком и объяснить, каким образом она формируется. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $3mgh = 29.4~кДж$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Работа", "Энергия", "200 задач"] |
|
{"text": [{"text": "Электрическая цепь, состоящая из резисторов $R 1$, $R 2$, $R 3$ с сопротивлениями $R_{1}$, $R_{2}$ и $R_{3}$ соответственно, подключена к двум источникам постоянного напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$, как показано на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каких условиях сила тока через резистор $R 1$ будет равна нулю?"}]} | [{"condition": "При каких условиях сила тока через резистор $R 1$ будет равна нулю? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Всероссийские", "Цепь с резистором"] |
|
{"text": [{"text": "Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально вниз и по модулю равна $B=1~Тл$ (см. рисунок). <img_0> Длина стержня $l=0.2~м$, мacca $m=10~г$, длина проводов $l_{1}=0.1~м$. K точкам закрепления проводов подключают конденсатор емкостью $C=100~мкф$, заряженный до напряжения $U=100~В$. Определить:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "максимальный угол отклонения системы от положения равновесия после разрядки конденсатора, считая, что разрядка происходит за очень малое время;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "емкость $C_{1}$ конденсатора, при разрядке которого система отклонится на угол $\alpha=3^{\circ}$, если при разрядке заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью $C_{0}=10~мкф$ угол отклонения $\beta=2^{\circ}$."}]} | [{"condition": "максимальный угол отклонения системы от положения равновесия после разрядки конденсатора, считая, что разрядка происходит за очень малое время; ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \alpha=2 \arcsin \left(\frac{B C U l}{2 m \sqrt{g l_{1}}}\right)= 2 \arcsin (0.1) \approx 12^{\circ}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "емкость $C_{1}$ конденсатора, при разрядке которого система отклонится на угол $\alpha=3^{\circ}$, если при разрядке заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью $C_{0}=10~мкф$ угол отклонения $\beta=2^{\circ}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ C_{1}=C_{0} \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}=15~мкФ. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Цепь с конденсатором", "Математический маятник", "Всероссийские", "Движение в магнитном поле"] |
|
{"text": [{"text": "Человек ростом $h_0= 2~м$, привязанный гибким упругим тросом за ногу, прыгает вниз с платформы, возвышающейся над озером на высоте $h = 25~ м$ (см. рис). Другой конец троса прикреплен к платформе. Человек начинает падать из состояния покоя, находясь в вертикальном положении. Длина и упругие свойства троса выбраны так, чтобы скорость человека обратилась в ноль в тот момент, когда его голова достигнет поверхности воды. В конце концов прыгун зависает на тросе вверх ногами, а его голова находится на высоте $\Delta h = 8~м$ над поверхностью воды. <img_0>"}, {"balls": {"number": "a", "exponent": null}, "text": "Найдите длину троса в нерастянутом состоянии."}, {"balls": {"number": "b", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальные скорость и ускорение, которые достигаются во время падения"}]} | [{"condition": "Найдите длину троса в нерастянутом состоянии. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ l_0=13~м $$"]}, "number_part": "a", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите максимальные скорость и ускорение, которые достигаются во время падения ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=65~км/ч; a=40~м/с^2 $$"]}, "number_part": "b", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Динамика", "Энергия", "200 задач"] |
|
{"text": [{"text": "<img_0> Рассмотрим одноатомный идеальный газ в количестве $n~\text{моль}$, который необходимо перевести из начального состояния $A(p_A,V_A,T_A)$ в конечное состояние $B(p_B=p_A,V_B=2V_A,T_B)$, как показано на рисунке."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Существует ли такой процесс, приводящий из $A$ в $B$, что в нём подведённая к газу теплота равна изменению его внутренней энергии?"}]} | [{"condition": "Существует ли такой процесс, приводящий из $A$ в $B$, что в нём подведённая к газу теплота равна изменению его внутренней энергии? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Термодинамика", "Китайские", "Теплота", "Первое начало термодинамики"] |
|
{"text": [{"text": "В схеме на рисунке напряжение батарейки $U_0=10 ~В$, емкость конденсатора $C =1~ мкФ$, сопротивление гальванометра $R=1~кОм$. Десять раз в секунду конденсатор отключают от цепи и сразу же подключают обратно, поменяв местами его выводы. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой ток показывает гальванометр?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз изменится ток при увеличении емкости конденсатора до $C'=1000~мкФ$? При данной частоте переключений стрелка гальванометра практически не дрожит."}]} | [{"condition": "Какой ток показывает гальванометр? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Во сколько раз изменится ток при увеличении емкости конденсатора до $C'=1000~мкФ$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Конденсатор", "RC-цепи", "Цепь с конденсатором", "Всероссийские", "Неравновесный процесс", "Электрические цепи", "Цепь с резистором"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Вычислите сопротивление $R$ между точками $A$ и $B$ бесконечной электрической цепи, показанной на рисунке, если все сопротивления в этой цепи одинаковы и равны $r$. <img_0>"}]} | [{"condition": "Вычислите сопротивление $R$ между точками $A$ и $B$ бесконечной электрической цепи, показанной на рисунке, если все сопротивления в этой цепи одинаковы и равны $r$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $R_{AB}=\cfrac 1 2 (1+\sqrt 5)$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Бесконечная цепочка", "Международные", "1967"] |
|
{"text": [{"text": "Рассмотрим классическую механическую систему с некоторым параметром $\lambda$, который может медленно меняться с течением времени. Если движение системы периодическое с периодом $T$, изменение параметра можно считать медленным при условии $$ T\frac{d\lambda}{dt}\ll{\lambda}. $$ В общем случае по временем $T$ можно понимать характерное время процессов, протекающих в системе. Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении параметров системы. Можно доказать, что адиабатическим инвариантом является величина $$ I=\frac{1}{2\pi}\oint pdq. $$ Здесь $p$ — одна из проекций импульса системы, $q$ — соответствующая координата. Если изобразить периодическое движение частицы в координатах $p$, $q$, при периодическом движении получим замкнутую кривую. Тогда интеграл в определении $I$ равен площади, ограниченной этой кривой."}, {"text": "Часть A. Движение между двумя стенками (0.8 балла) <img_0> По гладкой горизонтальной спице между двумя вертикальными стенками может скользить бусинка массы $m$. Все удары бусинки со стенками абсолютно упругие. Одна стенка неподвижна, а вторая стенка движется по направлению к первой со скоростью $u$, удовлетворяющей соотношению $u\ll{v}$, где $v$ - скорость бусинки. Начальное расстояние между стенками равняется $L_0$, начальная скорость бусинки $v_0$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите скорость бусинки сразу после соударения с подвижной стенкой."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите изменение расстояния между стенками за время между двумя последовательными соударениями бусинки с подвижной стенкой. Необходимо получить точную формулу."}, {"text": "Часть B. Движение между стенкой и тяжёлой частицей (1.2 балла) <img_1> Данная часть задачи является фактическим продолжением предыдущей. Отличие состоит в том, что теперь на лёгкую частицу массы $m$, движущуюся со скоростью $v_0$ налетает со скоростью $u\ll{v_0}$ частица массы $M\gg{m}$. С другой стороны по-прежнему неподвижная стенка. Начальное расстояние между частицами равнялось $L_0$. Известно, что в процессе движения максимальная скорость легкой частицы равнялась $kv_0$. Массы частиц не даны!"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите выражение для адиабатического инварианта $I$ для рассмотренной системы и определите скорость бусинки в момент, когда расстояние между стенками уменьшилось до значения $L$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите отношение масс $M/m$ через $u, v_0$ и $k$."}, {"text": "Часть C. Модель иона (1.5 балла) <img_2> В данной части рассматривается упрощённая модель иона ${H_2}^+$. Две частицы массы $M$ и находящаяся между ними частица массы $m\ll{M}$ могут двигаться по гладкой горизонтальной спице. Лёгкая частица притягивается к тяжёлым с постоянными силами $F$. В момент, когда расстояние между тяжёлыми частицами равнялось $L_0$, скорость лёгкой частицы в системе отсчета центра масс двух тяжелых частиц равняется $v_0$. Вам предлагается исследовать положение равновесия данной системы, а также найти частоту её малых колебаний вблизи него. Обозначим расстояние между тяжелыми частицами за $x$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Через какое время тяжёлая частица остановится? Ответ выразите через $L_0, v_0, u$ и $k$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите выражение для кинетической энергии системы. Ответ выразите через $M, m, x, \dot{x}, v_0$ и $L_0$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,20"}, "text": "Получите выражение для потенциальной энергии системы. Ответ выразите через $F$ и $x$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "При каком значении $x$ система находится в положении равновесия? Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$."}, {"text": "Часть D. Движение внутри эллипса (2.2 балла) <img_3> По гладкой горизонтальной поверхности ограниченной вертикальными стенками может свободно двигаться маленькая шайба. Стенки ограничивают часть поверхности в форме эллипса с большой и малой полуосями $a$ и $b$ соответственно. В положении с координатами $(r;0)$ шайбе сообщили скорость, проекции которой равны $v_x=v_0\sin\alpha; v_y=v_0\cos\alpha$, причём $r\ll{a,b}$, $\alpha\ll{1}$. От вас потребуется в первом приближении по этим малым параметрам описать движение шайбы."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите циклическую частоту малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,00"}, "text": "Можно показать, что в рассматриваемом приближении квадрат компоненты $v_x$ скорости шайбы зависит от координаты $x$ как $v^2_x=A+Bx+Cx^2$. Выразите $A, B$ и $C$ через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите максимальное значение координаты $x$ шайбы в процессе движения. Ответ выразите через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$."}, {"text": "Часть E.Математический маятник на наклонной плоскости (1.3 балла) К гладкой наклонной плоскости привязан математический маятник, совершающий малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. В этой части задачи вам предлагается исследовать, как изменяется амплитуда колебаний маятника с изменением угла наклона плоскости, а также длины маятника. В начальный момент амплитуда колебаний (измеряется угол отклонения маятника от положения равновесия) равна $\varphi_0 \ll 1$, длина маятника равна $L_0$, а угол наклона плоскости равен $\alpha_0$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,60"}, "text": "Через какое время после запуска шайба впервые окажется в точке с координатой $x=0$? Какое условие на соотношение $a/b$ должно выполняться для применимости полученного результата?"}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите адиабатический инвариант $I$ для гармонического осциллятора с массой $m$, колеблющегося с циклической частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть при неизменном угле наклона длину маятника адиабатически медленно увеличили до $L$. Найдите новую амплитуду колебаний маятника $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, L_0$ и $L$."}, {"text": "Часть F. Ларморовская прецессия в медленно изменяющемся магнитном поле (2.5 балла) Рассмотрим кольцо массы $M$,равномерно заряженное по периметру зарядом $q$, помещённое в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Кольцо раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\vec{\omega}$ и отпустили. Угол между векторами магнитной индукции и угловой скорости вращения кольца в начальный момент равен ${\alpha_0}$. Примечание: Магнитный момент системы зарядов можно вычислить по формуле $$\vec{m}=\int\frac{[\vec{r}\times\vec{v}]}{2}dq $$"}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть при неизменной длине маятника угол наклона адиабатически медленно увеличили до значения $\alpha$. Найдите новую амплитуду колебаний $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, \alpha$ и $L_0$."}, {"balls": {"number": "F1", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите вектор магнитного момента кольца $\vec{m}$ через $q$,$M$ и вектор его момента импульса относительно центра $\vec{L}$."}, {"balls": {"number": "F2", "exponent": "0,20"}, "text": "Покажите, что модуль момента импульса $L$ остаётся постоянным."}, {"balls": {"number": "F3", "exponent": "0,70"}, "text": "Покажите, что ось кольца испытывает прецессию и найдите вектор угловой скорости $\vec{\Omega}$ этой прецессии. Ответ выразите через $q$, $M$ и $\vec{B_0}$. Считайте, что $\Omega\ll{\omega}$."}, {"balls": {"number": "F4", "exponent": "0,70"}, "text": "Магнитное поле адиабатически медленно начинают уменьшать со скоростью $\dot{B}$. Найдите момент сил (модуль и направление), действующих на кольцо со стороны вихревого электрического поля. В этом и следующем пункте считйте, что $\alpha_0=\pi/2$."}, {"text": "Часть G. Движение в неоднородном магнитном поле (3.0 балла) Одним из методов удержания частиц в магнитной ловушке в продольном (по полю) направлении состоит в использовании магнитных пробок, или магнитных зеркал, — областей, в которых напряжённость магнитного поля сильно (но плавно) возрастает. Такие области могут отражать налетающие на них вдоль силовых линий заряженные частицы. При движении заряженной частицы в "зеркальной" магнитной ловушке радиус траектории частицы уменьшается при продвижении в область сильного поля. В рамках двух последних частей мы изучим движение в таких полях. Для магнитных зеркал определим коэффициент зеркальности $r_m$ $$r_m=\frac{B_{max}}{B_{min}} $$ Во всех пунктах считайте, что траектории частиц представляют собой медленно изменяющиеся спирали с малым углом наклона, ведущие центры которых совпадают с силовыми линиями магнитного поля. Введём также компоненты скорости $v_{||}$ и $v_\perp$ ($v_{||}\ll v_{\perp}$), обозначающие компоненты скорости частицы, направленные вдоль и перпендикулярно направлению магнитного поля соответственно."}, {"balls": {"number": "F5", "exponent": "0,70"}, "text": "Значение магнитного поля уменьшилось до $\vec{B_1}$. Найдите угол между осью вращения и направлением магнитного поля. Изменение угла можно считать малым."}, {"balls": {"number": "G1", "exponent": "0,20"}, "text": "Рассмотрим для начала плоское движение в однородном магнитном поле с индукцией $B_0$. Пусть его производная по времени равна $\dot{B}$ и изменение происходит адиабатически медленно. Начальная скорость частицы равна $v_0$,её масса $M$, а заряд $q$. Выразите тангенциальное ускорение частицы $\dot{{v_\perp}}$ через $M, q, v_0, B_0$ и $\dot{B}$."}, {"balls": {"number": "G2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть магнитное поле медленно изменило величину до значения $B$. Выразите скорость частицы $v_\perp$ через $v_0, B_0$ и $B$. Перейдём к неоднородному магнитному полю. Поскольку ведущий центр траектории электрона перемещается вдоль силовой линии. Будем считать, что магнитное поле изменяется только в данном направлении."}, {"balls": {"number": "G3", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть угол наклона винтовой линии равен $\alpha$ и мал. Покажите, что усреднённая по времени сила, действующая в направлении магнитного поля на заряд эквивалентна взаимодействию магнитного диполя с неоднородным полем. Найдите величину силы $F_{||}$. Ответ выразите через $m, v, q, B_z$ и $\frac{dB_z}{dz}$, где ось $z$ сонаправлена с магнитным полем. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле."}, {"balls": {"number": "G4", "exponent": "0,70"}, "text": "Используя результаты предыдущих пунктов, определите зависимость угла $\alpha$ от величины магнитного поля $B$ Ответ выразите через $\alpha_0, B_0$ и $B$."}, {"text": "Часть H. Установка для реализации магнитного зеркала (2.5 балла) <img_4> Мы изучили движение в неоднородных магнитных полях и готовы перейти к исследованию задачи о магнитных зеркалах. Схема, используемая для их реализации, представлена на рисунке. Она представляет собой два соосных витка одинакового радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $2H\gg{R}$ друг от друга. По виткам протекают токи одинаковой силы $I$ в одном направлении. витки помещены в область большого однородного магнитного поля с индукцией $B_0$, направленного вдоль их осей. Целью данной задачи является исследование силовых линий такой системы и, как следствие, описание траектории ведущего центра орбиты электронов."}, {"balls": {"number": "G5", "exponent": "0,60"}, "text": "Выразите максимально возможное значение угла $\alpha$ через $r_m$."}, {"balls": {"number": "H1", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите точную формулу зависимости индукции магнитного поля от координаты $x$. Начало координат находится по центру между витками, ось $x$ направлена вдоль магнитного поля. Найдите, учитывая малость некоторых параметров, также максимальное и минимальное значение суммарной индукции магнитного поля на оси витков."}, {"balls": {"number": "H2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите коэффициент зеркальности $r_m$ для данной системы. Учтите здесь и в дальнейшем, что $H\gg{R}$."}, {"balls": {"number": "H3", "exponent": "1,00"}, "text": "Качественно нарисуйте силовую линию, проходящую через плоскость кольца на малом расстоянии $R_0\ll{R}$ от его оси в координатах $r'(x)$, где $r'$ — расстояние до оси симметрии системы. Найдите максимальное значение $r'$ и выразите ответ в виде: $r' \approx A + B (r-1)$."}, {"balls": {"number": "H4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите максимальное значение угла $\alpha$ в процессе движения, если отражения от магнитных зеркал происходит в плоскости колец. Считайте, что точки разворота частицы находятся достаточно близко к центрам колец. Учтите малость $r_m$."}]} | [{"condition": "Найдите скорость бусинки сразу после соударения с подвижной стенкой. ", "solution": {"text": "При упругом отражении относительная скорость стенки и бусинки не меняется по модулю, но меняется по направлению, поэтому $$v_1=v_{отн}+u=v_0+2u $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите изменение расстояния между стенками за время между двумя последовательными соударениями бусинки с подвижной стенкой. Необходимо получить точную формулу. ", "solution": {"text": "Время между двумя последовательными соударениями проще всего вычислить, рассмотрев столкновение с симметричной стенкой, движущейся с той же скоростью. Отсюда $$\Delta{t}=\frac{2L_0}{v_1+u} $$ Найдём изменение расстояния $$\Delta{L}=-u\Delta{t}=-\frac{2L_0u}{v_0+3u} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите выражение для адиабатического инварианта $I$ для рассмотренной системы и определите скорость бусинки в момент, когда расстояние между стенками уменьшилось до значения $L$. ", "solution": {"text": "Из результатов предыдущих двух пунктов при условии $u\ll{v}$ $$\frac{\Delta{L}}{L}=-\frac{2u}{v_0+3u}\approx-\frac{\Delta{v}}{v} $$ откуда после интегрирования $$Lv=const=L_0v_0 $$ Учитывая физический смысл адиабатического инварианта $$I=\frac{L_0v_0}{\pi} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите отношение масс $M/m$ через $u, v_0$ и $k$. ", "solution": {"text": "Максимальная скорость лёгкой частицы достигается в момент, когда тяжёлая останавливается. Из ЗСЭ $$\frac{Mu^2}{2}+\frac{m{v_0}^2}{2}=\frac{k^2m{v_0}^2}{2} $$ откуда $$\frac{M}{m}=\left(\frac{v_0}{u}\right)^2\left(k^2-1\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Через какое время тяжёлая частица остановится? Ответ выразите через $L_0, v_0, u$ и $k$. ", "solution": {"text": "Найдём из ЗСЭ скорость тяжёлой частицы как функцию расстояния $x$ между ней и стенкой. Из условия сохранения адиабатического инварианта для лёгкой частицы $$v(x)=\frac{v_0L_0}{x} $$ Тогда из ЗСЭ с учётом того, что скорость тяжёлой частицы $v_т=-\frac{dx}{dt}$ получим $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{m{v_o}^2}{M}\left(k^2-\left(\frac{L_0}{x}\right)^2\right)=\frac{u^2}{k^2-1}\left(k^2-\left(\frac{L_0}{x}\right)^2\right) $$ откуда $$dt=-\frac{\sqrt{k^2-1}}{k^2u}\frac{k^2xdx}{\sqrt{k^2x^2-{L_0}^2}} $$ Интегрируя $$t=\frac{\sqrt{k^2-1}}{k^2u}\int\limits_0^{{L_0}^2(k^2-1)}\frac{dz}{\sqrt{z}}=\frac{L_0}{u}\left(1-\frac{1}{k^2}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите выражение для кинетической энергии системы. Ответ выразите через $M, m, x, \dot{x}, v_0$ и $L_0$. ", "solution": {"text": "Учитывая покой системы, центр масс неподвижен.Значит, кинетическая энергия тяжёлых частиц может быть выражена через приведённую массу $\mu$ и их относительную скорость $$E_M=\frac{M\dot{x}^2}{4} $$ Кинетическая энергия лёгкой частицы может быть найдена из условия сохранения адиабатического инварианта $$E_m=\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{2x^2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Получите выражение для потенциальной энергии системы. Ответ выразите через $F$ и $x$. ", "solution": {"text": "Взаимодействия лёгкой частицы с обеими тяжёлыми можно представить как взаимодействие самих тяжёлых частиц. С учётом притяжения и постоянства силы $$W_p=Fx+C $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "При каком значении $x$ система находится в положении равновесия? Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ $$E_m+E_M+W_p=E_0 $$ отсюда $$\frac{M\dot{x}^2}{4}+\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{2x^2}+Fx=const $$ В положении равновесия эффективный потенциал минимален.Дифференцируя $$F=\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{x^3} $$ откуда $$x_0=\left(\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{F}\right)^{\frac{1}{3}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите циклическую частоту малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$. ", "solution": {"text": "Вычислим вторую производную эффективного потенциала $$\frac{d^2{U_{eff}}}{dx^2}=\frac{3m{v_0}^2{L_0}^2}{{x_0}^4} $$ после чего получим уравнение гармонических колебаний $$\frac{M\dot{x}^2}{4}+\frac{1}{2}\frac{d^2{U_{eff}}}{dx^2}=C $$ Откуда после дифференцирования $${\omega_0}^2=\frac{6m{v_0}^2{L_0}^2}{M}\left(\frac{F}{m{v_0}^2{L_0}^2}\right)^{\frac{4}{3}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Можно показать, что в рассматриваемом приближении квадрат компоненты $v_x$ скорости шайбы зависит от координаты $x$ как $v^2_x=A+Bx+Cx^2$. Выразите $A, B$ и $C$ через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$. ", "solution": {"text": "Для движения вдоль оси $y$ сохраняется адиабатический инвариант $$v_yy=const $$ С учётом начальных условий $${v_y}^2=\frac{{v_0}^2\cos^2(\alpha){y_0}^2}{y^2}=\frac{{v_0}^2\cos^2(\alpha)\left(1-\left(\frac{r}{a}\right)^2\right)}{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} $$ учитывая малость $x$ и ЗСэ $${v_x}^2={v_0}^2-{v_y}^2={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right)-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)x}{a}\right)^2 $$ Таким образом $$A={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right) $$ $$B=0 $$ $$C=-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)}{a}\right)^2 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальное значение координаты $x$ шайбы в процессе движения. Ответ выразите через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ получим $${v_x}^2={v_0}^2-{v_y}^2={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right)-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)x}{a}\right)^2 $$ При максимуме $x$ левой части стоит ноль, поэтому $$x_{max}=\sqrt{a^2\sin^2(\alpha)+r^2\cos^2(\alpha)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Через какое время после запуска шайба впервые окажется в точке с координатой $x=0$? Какое условие на соотношение $a/b$ должно выполняться для применимости полученного результата? ", "solution": {"text": "Движение вдоль оси $x$ представляет собой гармонические колебания с циклической частотой $\frac{v_0\cos(\alpha)}{a}$,поэтому $$t=\frac{a}{v_0\cos(\alpha)}\left(\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{r}{\sqrt{a^2\sin^2(\alpha)+r^2\cos^2(\alpha)}}}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите адиабатический инвариант $I$ для гармонического осциллятора с массой $m$, колеблющегося с циклической частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$. ", "solution": {"text": "Площадь фазовой траектории в случае гармонического осциллятора - это площадь эллипса с полуосями $A$ и $m {\omega_0}A$. Таким образом $$I=\frac{m A^2\omega_0}{2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть при неизменном угле наклона длину маятника адиабатически медленно увеличили до $L$. Найдите новую амплитуду колебаний маятника $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, L_0$ и $L$. ", "solution": {"text": "Циклическая частота такого маятника следующая $$\omega_0=\sqrt{\frac{g\sin(\alpha)}{L}} $$ А адиабатический инвариант $$I=\frac{m L^2{\varphi}^2}{2}\sqrt{\frac{g\sin(\alpha)}{L}} $$ Таким образом, при неизменном угле $$\varphi=\varphi_0\left(\frac{L_0}{L}\right)^{\frac{3}{4}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пусть при неизменной длине маятника угол наклона адиабатически медленно увеличили до значения $\alpha$. Найдите новую амплитуду колебаний $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, \alpha$ и $L_0$. ", "solution": {"text": "Используя результат предыдущего пункта $$\varphi=\varphi_0\left(\frac{\sin(\alpha_0)}{\sin(\alpha)}\right)^{\frac{1}{4}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите вектор магнитного момента кольца $\vec{m}$ через $q$,$M$ и вектор его момента импульса относительно центра $\vec{L}$. ", "solution": {"text": "По определению $$\vec{L}=\int[\vec{r}\times\vec{v}]dm $$ Учитывая, что кольцо однородное и равномерно заряжено по периметру $$\vec{m}=\frac{q}{2m}\vec{L} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Покажите, что модуль момента импульса $L$ остаётся постоянным. ", "solution": {"text": "Момент сил ,действующих на магнитный момент в магнитном поле $$\vec{M}=[\vec{m}\times\vec{B}] $$ $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}=\frac{q}{2m}[\vec{L}\times\vec{B}] $$ Отсюда следует, что производная вектора момента импульса перпендикулярна ему, откуда и следует, что момент импульса по модулю сохраняется."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Покажите, что ось кольца испытывает прецессию и найдите вектор угловой скорости $\vec{\Omega}$ этой прецессии. Ответ выразите через $q$, $M$ и $\vec{B_0}$. Считайте, что $\Omega\ll{\omega}$. ", "solution": {"text": "Пусть угловая скорость вращения вектора момента импульса равна $\vec{\Omega}$ $$\frac{d\vec{L}}{dt}=[\vec{\Omega}\times\vec{L}]=\frac{q}{2m}[\vec{L}\times\vec{B}] $$ Откуда $$[\vec{\Omega}+\frac{q}{2m}\vec{B}\times\vec{L}]=0 $$ и окончательно $$\vec{\Omega}=-\frac{q}{2m}\vec{B} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F3", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Магнитное поле адиабатически медленно начинают уменьшать со скоростью $\dot{B}$. Найдите момент сил (модуль и направление), действующих на кольцо со стороны вихревого электрического поля. В этом и следующем пункте считйте, что $\alpha_0=\pi/2$. ", "solution": {"text": "Есть только одна компонента момента сил - направленная вдоль магнитного поля Вихревое поле,возникающее на расстоянии $r$ от оси, проходящей через центр вдоль магнитного поля $$E=-\frac{\dot{B}r}{2} $$ $$M_z=\int E(r)rdq=-\int\frac{\dot{B}r^2dq}{2}=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Значение магнитного поля уменьшилось до $\vec{B_1}$. Найдите угол между осью вращения и направлением магнитного поля. Изменение угла можно считать малым. ", "solution": {"text": "Момент импульса кольца складывается из быстрой компоненты вращения, а также из компоненты, связанной с прецессией. Тогда производная момента импульса в проекции на ось Z следующая $$\frac{dL_z}{dt}=I_z\dot{\Omega}-I_r{\omega}\dot{\alpha}=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m}-I_r{\omega}\dot{\alpha}=M_z=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m} $$ Откуда $$\dot{\alpha}=0 $$ Таким образом, угол $\alpha$ при медленно уменьшении поля остаётся постоянным и ответ $$\alpha_1=\frac{\pi}{2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Рассмотрим для начала плоское движение в однородном магнитном поле с индукцией $B_0$. Пусть его производная по времени равна $\dot{B}$ и изменение происходит адиабатически медленно. Начальная скорость частицы равна $v_0$,её масса $M$, а заряд $q$. Выразите тангенциальное ускорение частицы $\dot{{v_\perp}}$ через $M, q, v_0, B_0$ и $\dot{B}$. ", "solution": {"text": "Используя полученные ранее выражения для вихревого электрического поля $$\dot{v_\perp}=\frac{qmv_{\perp}\dot{B}}{2qBm}=\frac{v_{\perp}\dot{B}}{2B} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть магнитное поле медленно изменило величину до значения $B$. Выразите скорость частицы $v_\perp$ через $v_0, B_0$ и $B$. ", "solution": {"text": "После интегрирования полученного выражения в предыдущем пункте $$\frac{{v_\perp}^2}{B}=const $$ Откуда $$v_\perp=v_0\sqrt{\frac{B}{B_0}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть угол наклона винтовой линии равен $\alpha$ и мал. Покажите, что усреднённая по времени сила, действующая в направлении магнитного поля на заряд эквивалентна взаимодействию магнитного диполя с неоднородным полем. Найдите величину силы $F_{||}$. Ответ выразите через $m, v, q, B_z$ и $\frac{dB_z}{dz}$, где ось $z$ сонаправлена с магнитным полем. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. ", "solution": {"text": "Рассмотрим проводник с током $I$,текущим по правилу правого винта. Рассмотрим замкнутую поверхность имеющую два сечения в форме проводника. По теореме Гаусса поток через неё равен нулю, поэтому $$SdB_z=d\Phi=dz\int B_\perp dl $$ Для $F_z$ имеем $$F_z=I\int B_\perp dl=Is\frac{dB_z}{dz}=m_z\frac{dB_z}{dz} $$ Момент импульса частицы направлен против магнитного поля, найдём его по модулю $$L_z=-m{v_\perp} r=-\frac{m^2{v_\perp}^2}{qB} $$ $$m_z=\frac{q}{2m}L_z=-\frac{m{v_\perp}^2}{2B} $$ И окончательно $$F_z=-\frac{m{v_\perp}^2}{2B}\frac{dB_z}{dz} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используя результаты предыдущих пунктов, определите зависимость угла $\alpha$ от величины магнитного поля $B$ Ответ выразите через $\alpha_0, B_0$ и $B$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии следует, что модуль скорости частицы не меняется. Перпендикулярная компонента скорости выражается как $$ v_\perp = v \cos \alpha. $$ Из инварианта, найденного в предыдущем пункте $$ v_\perp^2 = v_{0\perp}^2 \frac{B}{B_0}. $$ Отсюда $$ \cos \alpha= \cos \alpha_0 \sqrt{\frac{B}{B_0}}. $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Выразите максимально возможное значение угла $\alpha$ через $r_m$. ", "solution": {"text": "Для возможности работы магнитного зеркала необходимо, чтобы $\sin(\alpha)$ принимал любые значения вплоть до нуля. Тогда $$\cos(\alpha_0)\geq\frac{1}{\sqrt{r}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Получите точную формулу зависимости индукции магнитного поля от координаты $x$. Начало координат находится по центру между витками, ось $x$ направлена вдоль магнитного поля. Найдите, учитывая малость некоторых параметров, также максимальное и минимальное значение суммарной индукции магнитного поля на оси витков. ", "solution": {"text": "Из закона Био-Савара-Лапласа $$d\vec{B}=\frac{\mu_0~I}{4\pi}\frac{[d\vec{r}\times\vec{r}]}{r^3} $$ с учётом одинаковой направленности сил тока получим $$B(x)=B_0+\frac{\mu_0~IR^2}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{R^2+(H-x)^2}}+\frac{1}{\sqrt{R^2+(H+x)^2}}\right) $$ Максимум данной функции достигается в центрах витков, а минимум - при $x=0$. Отсюда с учётом малости полей витков $$B_{min}=B_0 $$ $$B_{max}=B_0+\frac{\mu_0~I}{2R} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите коэффициент зеркальности $r_m$ для данной системы. Учтите здесь и в дальнейшем, что $H\gg{R}$. ", "solution": {"text": "$$r=1+\frac{\mu_0~I}{2B_0R} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Качественно нарисуйте силовую линию, проходящую через плоскость кольца на малом расстоянии $R_0\ll{R}$ от его оси в координатах $r'(x)$, где $r'$ — расстояние до оси симметрии системы. Найдите максимальное значение $r'$ и выразите ответ в виде: $r' \approx A + B (r-1)$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим трубку силовых линий, симметричную относительно оси системы и ограниченную линиями, проходящими на расстоянии $R_0$ через плоскость кольца. Поскольку поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю, можем написать соотношение $$ B_{max} R_0^2 = B_{min} r'^2. $$ Отсюда $$ r' = R_0 \sqrt{\frac{B_{max}}{B_{min}}} = R_0 \sqrt{1+\frac{\mu_0~I}{2B_0R}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальное значение угла $\alpha$ в процессе движения, если отражения от магнитных зеркал происходит в плоскости колец. Считайте, что точки разворота частицы находятся достаточно близко к центрам колец. Учтите малость $r_m$. ", "solution": {"text": "$$\cos^2(\alpha_0)=\frac{1}{r} $$ Поэтому $$\sin^2(\alpha_{max})=1-\frac{1}{r}=\frac{\mu_0~I}{2B_0R} $$ Или $$\alpha_{max}\approx{\sqrt{\frac{\mu_0~I}{2B_0R}}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H4", "exponent_part": "0,50"}] | ["T", "★", "Механика", "Кинематика", "Электромагнетизм", "Адиабатический инвариант", "2021", "Сборы XY", "Y", "Движение в магнитном поле"] |
|
{"text": [{"text": "В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершенного над фиксированным количеством одноатомного идеального газа (см. рисунок). <img_0> От времени чернила выцвели, и информация про направления некоторых процессов была утрачена. Также была утрачена и информация про то, что отложено по оси абсцисс. Известно лишь, что на оси абсцисс отложена одна из следующих величин: объем, давление, температура или плотность, а шкала выполнена в условных единицах. По оси ординат отложена молярная теплоемкость газа $C$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите максимально возможный КПД цикла."}]} | [{"condition": "Найдите максимально возможный КПД цикла. ", "solution": {"text": "Заметим, что цикл состоит из трех процессов, с теплоемкостями $\frac{5}{2} R$, $\frac{3}{2} R$ и $2 R$, значит первые два процесса — изохорический и изобарический соответственно. Выясним какой процесс имеет теплоемкость $2 R$. По определению теплоемкости $$ C=\frac{\delta Q}{d T}=\frac{\frac{3}{2}(P d V+V d P)+P d V}{\frac{1}{R}(P d V+V d P)}=2 R, $$ откуда получим $P d V=V d P$ или $\frac{P}{V}=\frac{d P}{d V}$, что соответствует процессу в котором давление пропорционально объему. Заметим, что изохорический процесс на графике в условии представлен в виде точки, что означает, что по оси абсцисс отложен объем или плотность. Рассмотрим вариант, где по оси абсцисс отложен объем. Тогда используя тот факт, что один из процессов — это изобарическое расширение и что изохорический процесс происходит при наименьшем значении объема на изобаре, получаем следующий вид цикла (см. рисунок). <img_1> Найдем его КПД, обозначив минимальные давления и объем за $P_{0}$ и $V_{0}$. Здесь тепло подводится в изохорическом и изобарическом процессах. $$ \eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 P_{0} \cdot 2 V_{0}}{\frac{3}{2}\left(3 P_{0} \cdot 3 V_{0}-P_{0} V_{0}\right)+3 P_{0} \cdot\left(3 V_{0}-V_{0}\right)}=\frac{2 P_{0} V_{0}}{18 P_{0} V_{0}}=\frac{1}{9}. $$ Если по оси абсцисс графика из условия отложена плотность или $\frac{1}{V}$, то соответствующий график процесса представлен на рисунке ниже. <img_2> Рассчитаем КПД цикла в этом случае. Тепло подводится только на участке, на котором $P \sim V$. $$ \eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 P_{0} \cdot 2 V_{0}}{\frac{3}{2}\left(3 P_{0} \cdot 3 V_{0}-P_{0} V_{0}\right)+\frac{P_{0}+3 P_{0}}{2} \cdot\left(3 V_{0}-V_{0}\right)}=\frac{2 P_{0} V_{0}}{16 P_{0} V_{0}}=\frac{1}{8}. $$ Таким образом максимальный КПД цикла равен $$ \eta=\frac{1}{8}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \eta=\frac{1}{8}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Теплоемкость", "Всероссийские", "КПД", "Циклы"] |
|
{"text": [{"text": "В архиве Снеллиуса нашли чертеж, на котором были изображены два плоских зеркала $M_{1}$ и $M_{2}$, образующих двугранный угол в $70^{\circ}$, и точечный источник света $S_{0}$ (см. рисунок). <img_0> От времени чернила выцвели, и невозможно было разглядеть, сколько изображений источника $S_{0}$ давала такая система зеркал."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Попробуйте восстановить все изображения источника $S_{0}$. Сколько изображений источника $S_{0}$ можно было увидеть в такой системе зеркал?"}]} | [{"condition": "Попробуйте восстановить все изображения источника $S_{0}$. Сколько изображений источника $S_{0}$ можно было увидеть в такой системе зеркал? ", "solution": {"text": "В плоском зеркале изображение точечного источника расположено симметрично этому источнику относительно плоскости зеркала. Если получившееся изображение окажется с отражающей стороны другого зеркала — оно дает еще одно изображение и т. д. В данном случае все изображения лежат на окружности радиуса $R$, проведенного из точки $O$ пересечения плоскостей зеркал через $S_{0}$ (см. рисунок): $S_{1}$ — изображение точечного источника $S_{0}$ в зеркале $M_{1}$; $S_{12}$ — изображение мнимого источника $S_{1}$ в зеркале $M_{2}$; $S_{121}$ — изображение источника $S_{12}$ в зеркале $M_{1}$. <img_1> Источник $S_{121}$ не может дать изображение, так как он лежит с обратной (не отражающей) стороны зеркала $M_{2}$ (и, разумеется, $M_{1}$); $S_{2}$ — мнимое изображение точечного источника $S_{0}$ в зеркале $M_{2}$; $S_{21}$ — изображение источника $S_{2}$ в зеркале $M_{1}$. Мы видим, что источник $S_{21}$ оказался с обратной (не отражающей) стороны зеркала $M_{2}$, поэтому он тоже не может дать изображений. Следовательно, в зеркалах можно увидеть $5$ изображений источника $S_{0}$. Вообще говоря, любое изображение, оказавшееся в секторе $A O B$ (он заштрихован), не может более отразиться в зеркалах $M_{1}$ и $M_{2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: В зеркалах можно увидеть $5$ изображений источника $S_{0}$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Всероссийские", "Зеркало", "Построения"] |
|
{"text": [{"text": "Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершенного над идеальными газом (см. рисунок). <img_0> От времени чернила выцвели и от координатных осей $p$ (давление) и $V$ (объем) осталась только точка $O$ их пересечения. Из пояснений к тексту следовало, что в точке $A$ температура газа максимальна, а кратчайший поворот от положительного направления оси $V$ к положительному направлению оси $p$ совершается против часовой стрелки."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Восстановите построением положение осей $p$ и $V$."}]} | [{"condition": "Восстановите построением положение осей $p$ и $V$. ", "solution": {"text": "Сначала рассмотрим, как изменяется температура $T$ газа при движении вдоль отрезка $B C$, задаваемого уравнением $\frac{V}{V_{0}}+\frac{p}{p_{0}}=1$ (см. рисунок ниже). <img_2> Для $\nu$ молей газа $p V=\nu P T$. Поэтому $T=\frac{p V}{\nu R}=\frac{p_{0}}{\nu R V_{0}}\left(V_{0} V-V^{2}\right)$. Максимум $T$ будет в некоторой точке $A$ при $V=\frac{V_{0}}{2}$. Это значит, что точка $A$ находится на середине гипотенузы прямоугольного треугольника $\Delta O B C$ и поэтому равноудалена от точек $O$, $B$ и $C$. <img_3> Возьмем произвольный цикл (см. рисунок выше). Проведем ряд изотерм. Изотерма с наибольшей температурой, касающаяся кривой цикла (точка $A$ на рисунке), соответствует максимальной температуре в цикле. Проведем через точку $A$ общую касательную к кривой цикла и изотерме. Ясно, что максимальная температура на касательной соответствует точке $A$. По доказанному выше, эта точка равноудалена от начала координат и точек пересечения касательной с осями координат: $A O=A B=A C$. Теперь понятен алгоритм восстановления осей. $1$. Проводим касательную в точку $A$ (см. рисунок ниже). <img_4> $2$. Проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $A O$. $3$. Через точки пересечения окружности с касательной проводим оси координат. $4$. Из двух возможных вариантов направлений осей $p$ и $V$ выбираем тот, который удовлетворяет условию задачи."}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Построение", "Всероссийские", "Циклы"] |
|
{"text": [{"text": "Компакт-диск ($CD$) содержит приблизительно $650~мегабайт$ информации."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равен размер области, содержащей единицу информации, т.е. один бит? Оцените этот размер с помощью обычной линейки. Подтвердите вашу оценку, используя лазерный луч."}]} | [{"condition": "Чему равен размер области, содержащей единицу информации, т.е. один бит? Оцените этот размер с помощью обычной линейки. Подтвердите вашу оценку, используя лазерный луч. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a=\sqrt{S}=1.24 \cdot 10^{-4}~см=1.24~см $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Оптика", "Волновая оптика", "Дифракционная решетка", "200 задач"] |
|
{"text": [{"text": "Плотность слоя жидкости высотой $H$, заполняющей полностью закрытый толстостенный цилиндрический сосуд, линейно уменьшается с высотой от $\rho_{max}$ до малой величины, которую можно принять равной нулю. Над жидкостью находится тонкий слой насыщенного пара, давлением которого можно пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением жидкости. Снизу в жидкость погружают перевернутую пробирку объемом $V_{0}$, масса $M$ которой сосредоточена возле горлышка, а длина значительно меньше $H$. В пробирке находится газ, занимающий объем $V_{1}$, масса которого значительно меньше массы пробирки. Температура системы поддерживается постоянной. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,75"}, "text": "Может ли пробирка неподвижно зависнуть в сосуде?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,50"}, "text": "Если да, то при каких условиях и на какой высоте от дна?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "0,75"}, "text": "Будет ли ее положение равновесия устойчивым? Объем стенок пробирки мал по сравнению с $V_{1}$."}]} | [{"condition": "Может ли пробирка неподвижно зависнуть в сосуде? ", "solution": {"text": "Найдем сначала изменение плотности жидкости и давления по высоте сосуда:$$\rho_{жидкости}(h)=\rho_{\max}\left(1-\frac{h}{H} \right); \ (1) \\p(h)=\int\limits_h^H\rho(x)g\,dx=\frac{1}{2}\rho_{\max} gH\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}. \ (2)$$Видно, что в верхней части сосуда давление убывает до нуля. Это значит, что в этой области объем газа превысит объем пробирки, и пузырьки газа будут выходить из нее наружу. Пока газ не выходит из пробирки, происходит его изотермическое расширение, так что$$p(h)V(h)=\frac{1}{2}\rho_{\max}gHV_{1}, \ (3)$$откуда, с учетом $(2)$,$$V(h)=\frac{V_{1}}{\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}}. \ (4)$$Формула $(4)$ справедлива при $V(h) < V_{0}$, т.е. при$$h< H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right). \ (5)$$С учетом $(4)$-$(5)$ можно записать среднюю плотность газа в пробирке с учетом массы ее стенок:$$\begin{equation*}\rho_{газа}(h)=\frac{M}{V(h)}=\begin{cases} \rho_{1}\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}, h < H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right);\\ \rho_{0}, h \ge H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right), \ (6) \end{cases}\end{equation*}$$где использованы обозначения $\rho_{0,1} = M/ V_{0,1}$.Различные варианты хода зависимостей $\rho/\rho_{\max}$ от $h/H$ представлены на рис. 1-3. Кривая $1$ всюду соответствует жидкости, кривая $2$ — средней плотности газа в пробирке с учетом массы ее стенок.Кривые $1$ и $2$ не пересекаются (рис.1), если при $h=H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right)$ выполняется условие $\rho_{газа} > \rho_{жидкости}$, т.е.$$\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} > \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}. \ (7)$$ <img_1> В этом случае пробирка всегда будет тонуть. Если одновременно выполняются условия$$\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} < \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}, \quad \rho_{1} > \rho_{\max}, \ (8)$$кривые пересекаются в двух точках (рис. 2):$$h=H\left(1-\frac{\rho_{\max}}{\rho_{1}} \right) \text{ (точка $A$)}; \ (9) \\h=H\left(1-\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} \right) \text{ (точка $B$)}. \ (10)$$ <img_2> Точка $A$ является неустойчивой, поскольку при отклонении от нее вниз пробирка будет тонуть, а при отклонении вверх — всплывать. Точка $B$ на первый взгляд кажется устойчивой.Если выполнены условия $$\rho_{1} < \rho_{\max}, \quad \frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} < \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}, \ (11)$$остается только одна точка пересечения $B$ (рис. 3). <img_3> Однако при анализе ее устойчивости надо иметь в виду, что на горизонтальном участке кривой $2$ при движении вправо газ все время вытекает из пробирки. Поэтому движение влево будет совсем иным, а именно по параболе вида $(6)$ (верхняя строка), но с новым (большим) значением $\rho_{1}$, соответствующим оставшемуся в пробирке количеству газа. <img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,75"}, {"condition": "Если да, то при каких условиях и на какой высоте от дна? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Будет ли ее положение равновесия устойчивым? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "0,75"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Частицы с массами $M$ и $m$ и зарядами $q$ и $(-q)$ соответственно вращаются с угловой скоростью $\omega$ по окружностям вокруг оси, направленной параллельно внешнему однородному электрическому полю с напряжённостью $E$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите расстояние $R$ между частицами и расстояние $H$ между плоскостями их орбит."}]} | [{"condition": "Найдите расстояние $R$ между частицами и расстояние $H$ между плоскостями их орбит. ", "solution": {"text": "Направим ось $O y$ вдоль вектора напряжённости поля $\vec{E}$, а ось $O x$ перпендикулярно ей (см. рисунок). <img_1> Пусть отрезок, соединяющий частицы, составляет с осью $O y$ угол $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона для частиц в проекции на введённые оси в момент времени, когда ускорения частиц направлены вдоль оси $O x$:$$\begin{array}{ll}\text{Ось } O x: & M \omega^{2} r_{1}=\frac{k q^{2} \sin \alpha}{R^{2}}, \qquad (1)\\& -m \omega^{2} r_{2} =-\frac{k q^{2} \sin \alpha}{R^{2}}, \qquad (2)\\\text {Ось } O y: & q E=\frac{k q^{2} \cos \alpha}{R^{2}}, \qquad (3)\end{array}$$где $r_{1}$ и $r_{2}$ — орбиты окружностей, по которым движутся частицы $M$ и $m$ соответственно. Заметим также, что$$r_{1}+r_{2}=R \sin \alpha. \qquad (4)$$Таким образом, из $(1)$, $(2)$ и $(4)$ находим:$$R=\sqrt[3]{\frac{k q^{2}}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}}.$$Наконец, используя $(3)$, получим:$$H=R \cos \alpha=\frac{q E}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R=\sqrt[3]{\frac{k q^{2}}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}}.\\H=\frac{q E}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электромагнетизм", "Всероссийские", "Движение в электрическом поле", "Движение по окружности", "Закон Кулона"] |
|
{"text": [{"text": "На круглый блок радиуса $R$ положили канат длиной $L$ и массы $m$, который начал соскальзывать с блока без трения. В момент, когда разность высот свисающих с блока концов каната равна половине длины каната, найти:"}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "2,00"}, "text": "ускорение каната;"}, {"balls": {"number": "2.", "exponent": "1,50"}, "text": "натяжение каната в верхней точке;"}, {"balls": {"number": "3.", "exponent": "1,50"}, "text": "точку каната, в которой сила натяжения максимальна (достаточно найти угол между радиусом в эту точку и вертикалью)."}]} | [{"condition": "ускорение каната; ", "solution": {"text": "Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины свисающих концов $(l_1 < l_2)$. Тогда $l_2-l_1=\frac{L}{2}$ и $l_1+l_2+\pi R=L$, откуда $l_2=\frac{3}{4}L-\frac{\pi}{2}R$.Пусть в момент, когда разность высот концов каната равна $h=l_2-l_1=\frac{L}{2}$ за малое время $\Delta t$ канат сместился на $\Delta x$. Так как в отсутствие трения силы, действующие на канат со стороны блока, работы не совершают, увеличение кинетической энергии каната равно уменьшению его потенциальной энергии, которое легко найти, заметив, что перемещение каната вдоль себя эквивалентно опусканию кусочка длины $\Delta x$ на высоту $$\Delta \frac{mv^2}{2}=\frac{m}{L}\Delta x\cdot gh, \\ \frac{m2v\Delta v}{2}=\frac{m}{L}v\Delta t\cdot gh.$$Отсюда$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{h}{L}g=\frac{g}{2}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=\frac{h}{L}g=\frac{g}{2}.$$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "натяжение каната в верхней точке; ", "solution": {"text": "Запишем аналогично п.1 ЗСЭ для малого промежутка времени $\Delta t$ для правой (от верхней точки) части каната. Пусть $l=l_2+\frac{\pi}{2}R=\frac{3}{4}L$ — длина этой части, $M=m\frac{l}{L}=\frac{3}{4}m$ — её масса, $T$ — сила натяжения каната в верхней точке, $H=l_2+R=\frac{3}{4}L-R\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ — разность высот верхней точки каната и нижней точки его длинного конца. Тогда:$$\Delta\frac{Mv^2}{2}=\frac{m}{L}\Delta x\cdot gH-T\Delta x, \\ Mva=\frac{m}{L}v\cdot gH-Tv, \\ T=\frac{mgH}{L}-Ma=mg\left[\frac{3}{8}+\frac{R}{L}\left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right].$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=mg\left[\frac{3}{8}+\frac{R}{L}\left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right].$$"]}, "number_part": "2.", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "точку каната, в которой сила натяжения максимальна (достаточно найти угол между радиусом в эту точку и вертикалью). ", "solution": {"text": "Запишем второй закон Ньютона для маленького кусочка каната в проекции на касательную к нему ось:$$\Delta m\cdot a=\Delta m\cdot g\sin\alpha+T_1-T_2.$$Если кусочек выбран в месте с максимальной силой натяжения, то $T_1=T_2$, откуда получаем$$\sin\alpha=\frac{a}{g}=\frac{1}{2}, \\ \alpha=30^{\circ}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha=30^{\circ}.$$"]}, "number_part": "3.", "exponent_part": "1,50"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли обрывок рукописи, на котором был изображен замкнутый цикл для $v=1~моль$ гелия в координатах $p, V$ (см. рисунок). <img_0> Цикл состоял из изотермы $1-2$, изохоры $2-3$ и адиабаты $3-1$. $КПД$ данного цикла $\eta=0.125$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите объем газа в изохорическом процессе, если на рисунке ось давления вертикальна, а ось объема горизонтальна. Масштаб по оси объема: $1~дел=0.5~л$; по оси давления: $1~дел =5~кПа$."}]} | [{"condition": "Найдите объем газа в изохорическом процессе, если на рисунке ось давления вертикальна, а ось объема горизонтальна. ", "solution": {"text": "По определению, КПД цикла равен $\eta=\frac{A}{Q_{+}}$, где $A$ — работа, совершаемая газом за цикл, $Q_{+}$ —количество теплоты, отданной нагревателем газу за цикл. Для данного цикла $$ A=A_{T}+A_{V}+A_{Q}=A_{T}+A_{Q}, $$ где $A_{T}$, $A_{V}$, $A_{Q}$ — работы, совершенные газом соответственно в изотермическом, изохорическом и адиабатическом процессах. Обратите внимание на то, что количество теплоты, полученное газом от нагревателя, равно положительной работе, совершенной газом: $Q_{+}=A_{T}$. Следовательно, $$ \eta=\frac{A}{A_{T}}=\frac{A_{T}+A_{Q}}{A_{T}}=1+\frac{A_{Q}}{A_{T}}=1+\frac{A_{Q}}{A-A_{Q}}. \quad (1) $$ Работа, совершаемая газом за данный цикл, равна площади, ограниченной линиями $1-2-3-1$: $$ \begin{aligned} &A \approx\left(81+\frac{1}{2} \cdot 70\right)~ед.=116~ед.=290~Дж \\ &(1~ед. =5 \cdot 10^{3}~Па \cdot 5 \cdot 10^{-4}~м^{3}=2.5~Дж). \end{aligned} $$ Работа газа на адиабатическом участке равна с обратным знаком изменению внутренней энергии на участке $3-1$: $$ A_{Q}=-\nu C_{V}(T_{1}-T_{3})=-\nu \cdot \frac{3}{2} R(T_{2}-T_{3})=-\frac{3}{2} V_{2}(p_{2}-p_{3}). \quad (2) $$ Из рисунка находим $p_{2}-p_{3}=5 \cdot 10^{4}~Па$. Решая $(1)$ и $(2)$, получим $$ V_{2}=\frac{2}{3} \cdot \frac{1-\eta}{\eta} \cdot \frac{A}{p_{2}-p_{3}} \simeq 27~л. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ V_{2}=\frac{2}{3} \cdot \frac{1-\eta}{\eta} \cdot \frac{A}{p_{2}-p_{3}} \simeq 27~л. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "КПД", "Циклы", "Изопроцессы"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Оцените среднюю длину свободного пробега абсолютно черной сферы массы $m$ и радиуса $R$ в вакууме при температуре $T$. Под средней длиной свободного пробега здесь понимается такое пройденное расстояние, при котором вектор скорости сферы поворачивается на угол $\pi/2$. Можно считать, что $kTR\gtrsim hc$, где $k$ и $h$ — постоянные Больцмана и Планка соответственно, а $c$ — скорость света. Примечание: для случайных блужданий с периодом $\tau$ и длиной шага $a$ (сделанном в случайном направлении), среднее общее перемещение за время $t>\tau$ можно оценить как $a\sqrt{t/\tau}$."}]} | [{"condition": "Оцените среднюю длину свободного пробега абсолютно черной сферы массы $m$ и радиуса $R$ в вакууме при температуре $T$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\lambda = \cfrac{3^{3/2}}{4\pi x}\cfrac{c^2\sqrt{mk}}{\sigma R^2}T^{-7/2}$, где $x$ — корень уравнения $(x-3)e^x+3=0, x\approx 2.8214$ $\lambda\approx 0.1466 \cfrac{c^2\sqrt{mk}}{\sigma R^2}T^{-7/2}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "★", "Термодинамика", "Излучение", "Случайные блуждания", "Physics Cup", "2018"] |
|
{"text": [{"text": "Явление накапливания частиц в основном состоянии с энергией $\varepsilon=0$ называют конденсацией Бозе—Эйнштейна. Подчеркнем, что речь может при этом идти разве что о «конденсации в импульсном пространстве», никакой реальной конденсации в газе, конечно, не происходит. \[\begin{array}r\text{Л.Л. Ландау, Е.М. Лифшиц}\\ \text{Статистическая физика, ч. 1.}\end{array}\] Шведская Королевская Академия Наук решила присудить Нобелевскую Премию по физике $2001$ года «За получение конденсата Бозе—Эйнштейна в разреженных газах щелочных металлов и ранние фундаментальные исследования свойств этих конденсатов» совместно Эрику Б. Корнеллу, Вольфгангу Кеттерле и Карлу Е. Виману. \[\begin{array}r\text{The Nobel Foundation. Press Release:}\\ \text{The 2001 Nobel Prize in Physics}\end{array}\] Для описания некоторых систем используется модель идеального бозе-газа. При температурах ниже определенной (называемой температурой Бозе—Эйнштейновской конденсации) внутренняя энергия моля такого газа определяется выражением $U=\frac{3}{2} A V T^{\frac{5}{2}}$, а давление не зависит от объема и равно $p=A T^{\frac{5}{2}}$, где $A$ — некоторая константа. В этих условиях над газом совершают такой процесс расширения, что $T V^{\lambda}=\mathscr{const}$ , где $\lambda$ — заданное число."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Поглощается или отдается теплота газом в этом процессе? При $\mu x \ll 1$ справедлива формула $(1+x)^{\mu} \approx 1+\mu x$."}]} | [{"condition": "Поглощается или отдается теплота газом в этом процессе? ", "solution": {"text": "По первому закону термодинамики полученное системой количество теплоты$$Q=\Delta U+p \Delta V.$$Поскольку в рассматриваемом процессе $T=B V^{-\lambda}$, $B=\operatorname{const}$, имеем:$$U=\frac{3}{2} A B^{\frac{5}{2}} V^{1-\frac{5}{2} \lambda}.$$Следовательно,$$\Delta U=\frac{3}{2} A B^{\frac{5}{2}}\left((V+\Delta V)^{1-\frac{5}{2} \lambda}-V^{1-\frac{5}{2} \lambda}\right)=\\=\frac{3}{2} A B^{\frac{5}{2}} V^{1-\frac{5}{2} \lambda}\left(\left(1+\frac{\Delta V}{V}\right)^{1-\frac{5}{2} \lambda}-1\right) \approx \frac{3}{2} A B^{\frac{5}{2}} V^{1-\frac{5}{2} \lambda}\left(1-\frac{5}{2} \lambda\right) \frac{\Delta V}{V}=\\=\frac{3}{2}\left(1-\frac{5}{2} \lambda\right) A T^{\frac{5}{2}} \Delta V.$$Далее,$$p \Delta V=A T^{\frac{5}{2}} \Delta V.$$Отсюда$$Q=\frac{3}{2} A T^{\frac{5}{2}} \Delta V\left(\frac{5}{3}-\frac{5}{2} \lambda\right),$$так что$$\begin{array}lQ > 0, &\text {если}& \lambda<\frac{2}{3} \\Q < 0, &\text {если}& \lambda>\frac{2}{3}\end{array}$$при $\lambda=\frac{2}{3}$ процесс будет адиабатическим."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\begin{array}lQ > 0, &\text {если}& \lambda<\frac{2}{3} \\Q < 0, &\text {если}& \lambda>\frac{2}{3}\end{array}$$при $\lambda=\frac{2}{3}$ процесс будет адиабатическим."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Произвольное уравнение состояния", "Всероссийские", "Политропный процесс"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите сопротивление цепи, состоящей из бесконечного числа ячеек. Сопротивления резисторов заданы на рисунке. <img_0>"}]} | [{"condition": "Найдите сопротивление цепи, состоящей из бесконечного числа ячеек. ", "solution": {"text": "Пусть искомое сопротивление $R=x r$. Тогда, отделив первую ячейку, мы получим бесконечную цепочку, сопротивление которой равно $x \cdot 2 r$. Используя формулы для расчета соединений сопротивлений, мы получаем уравнение: $x r=2 r+r \cdot \frac{2 x r}{r+2 x r}$, откуда $x=\frac{5+\sqrt{41}}{4}$ и $R=r \frac{5+\sqrt{41}}{4}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ R=r \frac{5+\sqrt{41}}{4}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Бесконечная цепочка", "Всероссийские", "Электрические цепи"] |
|
{"text": [{"text": "Мяч брошен вертикально вверх."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Что больше: время подъема или время падения?"}]} | [{"condition": "Что больше: время подъема или время падения? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Время подъема мяча меньше времени падения."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Кинематика", "Вязкое трение", "Всероссийские", "Реальная механическая система"] |
|
{"text": [{"text": "В одном калориметре находится смесь воды и льда, в другом — вода при температуре $100~{}^{\circ} \mathrm{C}$. Горячую воду начинают охлаждать следующим образом: маленький металлический шарик на нити опускают в холодную воду, затем переносят в горячую, затем опять в холодную и т.д. При этом каждый раз успевает установиться тепловое равновесие, а весь цикл занимает одно и то же время. График зависимости массы льда в «холодном» калориметре от времени изображен на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "До какой температуры охладилась горячая вода, когда весь лед растаял? Теплообменом с атмосферой можно пренебречь."}]} | [{"condition": "До какой температуры охладилась горячая вода, когда весь лед растаял? ", "solution": {"text": "На каждом шаге, продолжительность которого обозначим через $\tau$, металлический шарик нагревается в горячем калориметре, отбирая у него теплоту, и охлаждается в холодном, отдавая теплоту. Обозначим через $T_{1}$ и $T_{2}$ температуры калориметров, а через $C$ — теплоемкость шарика. Тогда на каждом шаге горячий калориметр отдает теплоту $C\left(T_{1}-T_{2}\right)$, а холодный получит такое же количество теплоты. Оно пойдет на плавление льда массой$$-\Delta m=\frac{C}{\lambda}\left(T_{1}-T_{2}\right)$$($\lambda$ — удельная теплота плавления льда). Следовательно, лед плавится со скоростью$$-\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{C}{\lambda \tau}\left(T_{1}-T_{2}\right),$$которая оказывается пропорциональной разности температур калориметров.Аппроксимируем начало графика $m(t)$ в условии задачи прямой. Ее угловой коэффициент $k_{1}=-0.4~г/с$. Вблизи точки графика, где $m=0$, его можно заменить прямой с угловым коэффициентом $k_{2}=-0.2~г/с$.Поскольку в начальный момент времени разность температур равна $100~{}^{\circ} \mathrm{C}$, конечная точка соответствует разности температур $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$. Следовательно, когда весь лед растает, горячая вода охладиться до $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$-\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{C}{\lambda \tau}\left(T_{1}-T_{2}\right),$$Когда весь лед растает, горячая вода охладиться до $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Всероссийские", "Теплота", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "В схеме, изображенной на рисунке 2, напряжение батарейки неизменно, а напряжение $U$ источника можно изменять. Оказалось, что при $U_1 =3~В$ ток через источник не идет. <img_0> <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каком напряжении источника батарейка не будет разряжаться? График зависимости тока через лампочку от напряжения на ней приведен на рисунке 3."}]} | [{"condition": "При каком напряжении источника батарейка не будет разряжаться? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Из условия задачи ясно, что напряжение батарейки $U_6=U_1=3~В$. Для того чтобы батарейка не разряжалась, ток в цепи должен обеспечивать только источник. Поэтому$$U_2=U_1+I_1R\approx 6.3~В$$(здесь $I_1\approx 0.55~А$ — ток в лампочке при напряжении $U_1$ на ней)."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Всероссийские", "Электрические цепи", "Графическое решение"] |
|
{"text": [{"text": "Часть A. Заряженная пластина в конденсаторе. Посередине между одинаковыми незаряженными металлическими обкладками плоского конденсатора с площадью $S$ и расстоянием между ними $d\ll{\sqrt{S}}$ находится такая же по форме диэлектрическая пластина массы $m$, заряженная равномерно по поверхности зарядом $q>0$. Обкладки конденсатора подключили к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$ с нулевым внутренним сопротивлением. Затем пластину отпускают. При движении пластины обкладки конденсатора остаются неподвижными. Обозначим за $x$ отклонение пластины от начального положения, за $q_1$ — заряд левой обкладки, а за $q_2$ — заряд правой обкладки. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите заряды обкладок конденсатора $q_1(x)$ и $q_2(x)$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите силу электростатического взаимодействия $F(x)$ пластины с обкладками через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. Можно показать, что зависимость смещения пластины $x(t)$ от времени имеет следующий вид $$x(t)=Ae^{at}+Be^{-at}+C, $$ где $a$ зависит только от $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$ и $m$, а $A$, $B$ и $C$ определяются начальными условиями."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $a$, $A$, $B$ и $C$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные."}, {"text": "Часть B. Конденсатор с диэлектриком Плоский конденсатор с площадью обкладок $S$ и расстоянием между ними $d\ll{\sqrt{S}}$ заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Диэлектрик и обкладки имеют хороший электрический контакт. Пусть разность потенциалов между обкладками конденсатора равна $V$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите скорость пластины $v^*$ в момент удара об обкладку конденсатора через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите заряды $q$ на металлических обкладках конденсатора. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\varepsilon$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите силу тока $I$, протекающего через диэлектрик. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\rho$ и физические постоянные. Из двух предыдущих пунктов следует, что схема такого конденсатора в электрической цепи эквивалентна некоторому соединению резистора с сопротивлением $R$ и конденсатора с емкостью $C$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите $R$ и $C$, а также укажите вид соединения данных элементов (последовательно или параллельно). Теперь сложный конденсатор подключается к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$, имеющему внутреннее сопротивление $r$. В начальный момент времени конденсатор не заряжен."}, {"text": "Часть C. Конденсатор с двумя диэлектриками Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ заполнен двумя диэлектриками. Один — с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, удельным сопротивлением $\rho_1$ и площадью контакта с обкладками $S_1$, а другой — с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, удельным сопротивлением $\rho_2$ и площадью контакта с обкладками $S_2$. Оба диэлектрика имеют хороший электрический контакт с обкладками конденсатора."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите зависимость от времени силы тока $I(t)$, протекающего через источник. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $r$, $R$, $C$ и $t$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите эквивалентную ёмкость $C_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $d$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите эквивалентное сопротивление $R_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $d$. Данный конденсатор последовательно с конденсатором ёмкости $C$ подключают к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$, имеющему нулевое внутреннее сопротивление. Пока ключ был разомкнут, конденсаторы были не заряжены. Напряжение на сложном конденсаторе измеряется идеальным вольтметром $V$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите заряд $q_C(0)$ на конденсаторе ёмкости $C$ сразу после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите зависимость показаний вольтметра $V(t)$ от времени $t$ после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$, $C_0$, $R_0$ и $t$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Какое количество теплоты $Q_{R_0}$ выделится на сопротивлении $R_0$? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. $\textit{Примечание}$ : $$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\left(ax+b\right)+C $$ $$\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+C $$"}]} | [{"condition": "Выразите заряды обкладок конденсатора $q_1(x)$ и $q_2(x)$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Рассмотрим смещение пластины на величину $x$ от центра. Найдём разность потенциалов на обкладках $1$ и $2$ в поле пластины. $$\varphi_{1q}-\varphi_{2q}=-2E_qx=-\frac{qx}{S\epsilon_0} $$ С другой стороны, поскольку конденсатор изначально не заряжен, разность потенциалов в поле конденсатора $$\varphi_{1C}-\varphi_{2C}=\frac{q_1d}{S\epsilon_0} $$ Суммарно $$\varphi_1-\varphi_2=\mathcal{E}=\frac{q_1d-qx}{S\epsilon_0} $$ откуда $$q_1=-q_2=\frac{qx}{d}+\frac{\epsilon_0\mathcal{E}S}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите силу электростатического взаимодействия $F(x)$ пластины с обкладками через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "$$F_x(x)=\frac{q_1q}{S\epsilon_0}=\frac{q^2x}{S\epsilon_0d}+\frac{\mathcal{E}q}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $a$, $A$, $B$ и $C$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Уравнение движения можно записать в виде $$\frac{mS\epsilon_0d}{q^2}\frac{d^2x}{dt^2}=x+\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q} $$ Подставляя полученный вид зависимости $x(t)$, сразу находим $$a=\frac{q}{\sqrt{mS\epsilon_0d}} $$ $$C=-\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q} $$ Далее учтём, что $x=0,\frac{dx}{dt}$в момент времени $t=0$ $$x=A+B+C=0 $$ $$\frac{dx}{dt}=a\left(A-B\right)=0 $$ откуда $$A=B=-\frac{C}{2} $$ и окончательно $$A=B=\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{2q} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите скорость пластины $v^*$ в момент удара об обкладку конденсатора через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Можно воспользоваться результатом пункта $A3$, а также законом сохранения энергии $$\frac{mv^2}{2}=\int\limits_0^{\frac{d}{2}}F_x(x)dx=\frac{\mathcal{E}q}{2}+\frac{q^2d}{8S\epsilon_0} $$ откуда $$v=\sqrt{\frac{\mathcal{E}q}{m}+\frac{q^2d}{4S\epsilon_0m}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите заряды $q$ на металлических обкладках конденсатора. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\varepsilon$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Под воздействием зарядов на металлических обкладках, электрическое поле внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon$ раз, откуда $$\frac{V}{d}=\frac{q}{S\epsilon_0\varepsilon} $$ откуда $$q=\frac{\varepsilon\epsilon_0SV}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите силу тока $I$, протекающего через диэлектрик. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\rho$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Из закона Ома в дифференциальной форме $$\vec{j}=\frac{\vec{E}}{\rho} $$ Откуда $$\frac{I}{S}=\frac{V}{\rho{d}} $$ Или $$I=\frac{VS}{\rho{d}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите $R$ и $C$, а также укажите вид соединения данных элементов (последовательно или параллельно). ", "solution": {"text": "$$R=\frac{\rho{d}}{S} $$ $$C=\frac{\varepsilon\epsilon_0S}{d} $$ Полученное выражение для силы тока говорит о том, что не все заряды, текущие по подводящим проводам остаются на обкладках конденсатора, а часть из них протекает в объёме диэлектрика. Это говорит о том, что эквивалетная схема представляет собой параллельные резистор $R$ и конденсатор $C$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость от времени силы тока $I(t)$, протекающего через источник. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $r$, $R$, $C$ и $t$. ", "solution": {"text": "Выражение для силы тока, текущего через источник. следующее $$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)}{rC} $$ Найдём $q_C(t)$. Из первого закона Кирхгофа $$I=I_R+I_C=\frac{q_C}{RC}+I_C $$ откуда $$I_C=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)(R+r)}{rRC} $$ $$\frac{(R+r)}{rRc}dt=\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C} $$ Интегрируя $$\frac{(R+r)}{rRc}t=\int\limits_0^{q_C}\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C}=-\ln\left(1-\frac{q_C(R+r)}{C\mathcal{E}R}\right) $$ или $$q_C(t)=\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}\left(1-e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t}\right) $$ и окончательно $$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R+r}+\frac{\mathcal{E}R}{r(R+r)}e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите эквивалентную ёмкость $C_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $d$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Данную систему можно представить как два параллельно соединённых сложных конденсатора, что говорит о том, что эквивалентные сопротивление и ёмкость могут быть вычислены по формулам параллельного соединения. Отсюда $$C_0=C_1+C_2=\frac{\varepsilon_1\epsilon_0S_1}{d}+\frac{\varepsilon_2\epsilon_0S_2}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите эквивалентное сопротивление $R_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $d$. ", "solution": {"text": "$$R_0=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{\rho_1\rho_2d}{\rho_1S_2+\rho_2S_1} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите заряд $q_C(0)$ на конденсаторе ёмкости $C$ сразу после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. ", "solution": {"text": "После замыкания ключа заряд практически мгновенно перераспределяется между обкладками конденсаторов $C$ и $C_0$. Отсюда $$q_C=q_{C_0} $$ а также $$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0} $$ и окончательно $$q_C=\frac{\mathcal{E}CC_0}{C+C_0} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость показаний вольтметра $V(t)$ от времени $t$ после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$, $C_0$, $R_0$ и $t$. ", "solution": {"text": "Выражение для падения напряжения на источнике следующее $$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0} $$ Пусть $q_{R_0}$ - заряд, протёкший через резистор. Тогда $$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+q_{C_0}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_0}\right) $$ С другой стороны $$\frac{q_{C_0}}{C_0}=I_{R_0}R_0 $$ откуда $$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+I_{R_0}R_0\left(1+\frac{C_0}{C}\right) $$ Отсюда $$\frac{dt}{R_0(C+C_0)}=\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}} $$ Учитывая, что $q_{R_0}(0)=0$ $$\frac{t}{R_0(C+C_0)}=\int\limits_0^{q_{R_0}}\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}=-\ln\left(1-\frac{q_{R_0}}{C\mathcal{E}}\right) $$ $$q_{R_0}=C\mathcal{E}\left(1-e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}\right) $$ Дифференцируя $$V(t)=I_{R_0}(t)R_0=\frac{C\mathcal{E}}{C+C_0}e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Какое количество теплоты $Q_{R_0}$ выделится на сопротивлении $R_0$? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. ", "solution": {"text": "В начальный момент в цепи выделяется количество теплоты $$Q_0=\frac{q_C\mathcal{E}}{2}=\frac{CC_0{\mathcal{E}}^2}{2(C+C_0)} $$ В установившемся режиме конденсатор $C_0$ не заряжен, поэтому за всё время в цепи выделяется количество теплоты $$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$ $$Q_{R_0}=Q_{\infty}-Q_0=\frac{C^2\mathcal{E}^2}{2(C+C_0)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}] | ["T", "Конденсатор", "Электростатика", "Электромагнетизм", "Емкость", "Сборы XY", "W", "2022", "Утечка"] |